Base holonómica

En matemàtiques i física matemàtica, una base coordenada o base holonómica per a una varietat diferenciable $M$, és un conjunt de bases de camps vectorials $\{e_a\}$ definit en cada punt $P$ d'una regió de la varietat com

${𝐞}_{\alpha }=\underset{\delta x^{\alpha }\to 0}{\lim }\frac{\delta 𝐬}{\delta x^{\alpha }},$

a on $s$ és el vector de desplaçament infinitesimal entre el punt $P$ i un punt propenc $Q$ la separació del qual de coordenades des de $P$ és $\delta x^a$ a lo llarc de la curva de coordenades $x^a$ (ej. la curva en la varietat a través de $P$ per a la qual la coordenada $x^a$ varia pero totes les demés coordenades són constants.

És possible fer una associació entre tal base i operadors derivats direccionals. Donada una curva parametrizada $C$ en la varietat definida per $x^a(\lambda )$ en el vector tangente $u=u^a{e}_a$, a on $u^a=\frac{d{x}^a}{d\lambda }$, i una funció $f(x^a)$ definida en un entorn de $C$, la variació de $f$ a lo llarc de $C$ pot ser escrita com

$\frac{df}{d\lambda }=\frac{d{x}^{\alpha }}{d\lambda }\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha }}=u^{\alpha }\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha }}.$

Ya que tenim que $u=u^a{e}_a$, l'identificació és comunament feta entre un vector de base de coordenades $e_a$ i l'operador diferencial parcial $\frac{\partial }{\partial x^a}$, baix l'interpretació de les relacions de tots els vectores com a iguals entre operadors actuant en cantitats escalares.

Una condició local per a que una base $\{e_k\}$ siga holonómica és que (en esta interpretació) totes les derivades de Lie mútues, desapareguen:

$[{𝐞}_{\alpha },{𝐞}_{\beta }]=0.$

Una base que no és holonómica, se li crida base no holonómica o base no coordenada.

És generalment impossible trobar una base holonómica que també siga ortogonal en cada regió oberta $U$ d'una varietat $M$, en una òbvia excepció de l'espai coordenado real $R^n$, considerat com una varietat en la mètrica euclidiana ${\delta }_{ij}$ en cada punt.