Principi d'equivalència

El principi d'equivalència és el principi físic de la relativitat general i de vàries atres teories mètriques de la gravetat. El principi afirma que: «un sistema immers en un camp gravitatorio és puntualment indistinguible d'un sistema de referència no inercial accelerat». Aixina, fixat un determinat acontenyiment instantàneu de naturalea puntual $p$ (un event o succés) en el sí d'un camp gravitatorio, dit acontenyiment pot ser descrit per un observador accelerat situat en eixe punt com si es moguera lliurement. És dir, existix cert observador accelerat que no té forma de distinguir si les partícules es mouen o no dins d'un camp gravitatorio.

Per eixemple: si caem despuix d'una pedra des d'un penya-segat, la vorem descendir en velocitat constant, exactament igual que si no existira el camp gravitatorio que nos fa caure. Lo mateix els ocorre als astronautas entorn a la seua nau, a on els sembla que tot sura com si no caiguera cap a la Terra seguint la seua òrbita.

Este principi va ser utilisat per Albert Einstein per a intuir que la trayectòria de les partícules en caiguda lliure en el sí d'un camp gravitatorio depén únicament de l'estructura mètrica del seu entorn immediat o, lo que és igual, del comportament dels metros i els rellonges patrons en torno seu.

Formalment solen presentar-se tres tipos de principi d'equivalència per a formular les lleis del moviment dels cossos:

• Dèbil o principi d'equivalència de Galileo
• Principi d'equivalència d'Einstein
• Principi d'equivalència forta

Formulació del principi d'equivalència

Principi d'equivalència dèbil

La formulació dèbil es pot enunciar de la següent manera: «El moviment de qualsevol partícula de prova en caiguda lliure és independent de la seua composició i estructura». Este principi es remonta al llibre de Galileo Galilei Diàlecs sobre les dos noves ciències, en el qual Galileo narra que despuix de realisar varis experiments en diferents tipos de materials, aplega a la conclusió de que en un mig sense resistència tots els cossos cauen en la mateixa acceleració. Açò es pot vore de la següent manera, la segona llei del moviment d'Isaac Newton,

a on la massa inercial és la resistència d'un cos a ser accelerat. Per un atre costat, de la llei de gravitació universal de Newton es complix que:

Per a un objecte en caiguda lliure, és dir, sense més forces actuant en ell, es té l'igualtat d'abdós fòrmules:

per lo que el principi d'equivalència en forma dèbil especifica l'igualtat entre les masses inercial i gravitacional, tornant-les indistinguibles.

Esta formulació ha segut provada a gran precisió des dels experiments d'Eötvos i és un dels principis més provats de la física.

Principi d'equivalència d'Einstein

La formulació d'Einstein s'obté en incorporar la relativitat especial al principi d'equivalència de Galileo. Formalment pot enunciar-se de la manera següent:

El resultat de qualsevol experiment no gravitacional en un laboratori desplaçant-se en un sistema de referència inercial és independent de la velocitat del laboratori o de la seua localisació en l'espai-temps.

Esta és la forma més usual del principi d'equivalència. Una atra forma de formular el principi d'equivalència forta és que en un veïnat lo suficientment menuda del espai-temps, les lleis de la física no gravitacionals obedixen les lleis de la relativitat especial en un marc de referència en caiguda lliure o marc geodèsic, és dir un marc de referència que el seu orige de coordenades es mou a lo llarc d'una llínea geodèsica. Existixen atres formulació similars d'este principi com esta atra:

Les propietats d'un sistema no inercial són les mateixes que un sistema inercial quan existix un cert camp gravitatorio

Note's que un sistema no inercial pot ser idèntic a un camp gravitatorio de cert tipo; no obstant, això no implica que qualsevol camp gravitacional siga equivalent a un sistema no inercial (en particular, el camp gravitatorio terrestre no pot ser substituït per un sistema d'acceleració uniforme degut a que el seu tensor de Riemann no és nul).

Principi d'equivalència forta

El principi d'equivalència forta es formula de la següent manera:

El moviment gravitacional d'un cos de prova depén únicament de la seua posició inicial en l'espai temps i no de la seua constitució, i el resultat de qualsevol experiment local, gravitacional o no, en un laboratori movent-se en un sistema de referència inercial és independent de la velocitat del laboratori i de la seua localisació en l'espai-temps.

És dir, en un marc de referència en caiguda lliure, i en un veïnat lo suficientment menuda de l'espai-temps, totes les lleis de la física obedixen les lleis de relativitat especial. En esta definició el terme «local» deu entendre's com a experiment que només involucra a una partícula puntual (per a cossos o camps extensos apareixen forces de marea que permetrien distinguir abdós casos).

El principi d'equivalència forta sugerix que la gravetat és de naturalea purament geomètrica (açò és, la mètrica determina els efectes de la gravetat) i no conté cap camp adicional associat en ella.

Conseqüències del principi d'equivalència

Moviment a lo llarc de geodèsiques

La relativitat general, com a teoria física d'interacció que és, es compon de dos parts. La primera permet calcular, per mig de l'equació d'Einstein, la curvatura de l'espai-temps a partir d'una distribució d'energia. La segona determina el moviment d'una massa prova en un espai-temps curve, i és l'equació de la geodèsica.

El principi d'equivalència afirma que en un sistema de referència en caiguda lliure s'anulen els efectes de la gravetat, i la física que allí es medixca és coherent en la relativitat especial. Desenrollant matemàticament este enunciat es conclou que la trayectòria d'una massa en un camp gravitatorio és una geodèsica en l'espai-temps.

D'esta manera, es podria dir que el principi d'equivalència, junt en el principi de relativitat especial són els únics principis físics sobre els que es recolza la relativitat general, ya que l'equació d'Einstein no està basada en cap principi, sino que està deduïda d'una manera heurística.

Anulació puntual del camp gravitatorio

El principi d'equivalència establix l'existència d'un sistema accelerat a on puntualment el camp gravitatorio no es detecta, és dir, és puntualment nul. Eixe sistema accelerat precisament aquell en el que els símbols de Christoffel de la mètrica s'anulen. És dir, eixe sistema de coordenades a on el camp gravitatorio és puntualment indetectable en el punt p, satisfà que:

El fet anterior, junt en el fet de que el lagrangiano deu ser un escalar físic independent del sistema de referència triat, que el lagrangiano del camp gravitatorio no pot formar-se exclusivament a partir del tensor mètric $g_{\mu \nu }$ i els símbols de Christoffel ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$, ya que llavors degut a que este és nul per al sistema de coordenades considerat anteriorment, la variació seria idénticamente nula per a tots els observadors, la qual cosa no té sentit físic.

Deu notar-se ademés que l'anulació en l'equació (*) solament es dona un punt o conjunt finito de punts, pero si es considera un entorn suficientment gran al voltant d'un punt l'anulació no és estricta, raó per la qual el principi d'equivalència només és estricamente cert per a experiments de «tipo puntual», no medides sobre una regió suficientment àmplia.

Lagrangiano del camp gravitatorio

La possibilitat d'elegir un sistema de referència accelerat a on els símbols de Christoffel siguen nuls, implica que el lagrangiano del camp gravitatorio relativiste deu estar format per derivades d'orde superior a un del tensor mètric i, per tant, el principi d'equivalència implica que el lagrangiano deu ser algun escalar relacionat en la curvatura. En efecte, la forma més comuna d'escriure el lagrangiano del camp gravitatorio és:

$S_{c,g}[g_{\mu \nu },\Omega ]=-\frac{c^3}{16\pi G}\underset{\Omega }{\int }R\sqrt{-g}d\Omega$

A on $R,g$ són la curvatura escalar i el determinant del tensor mètric, i l'integral anterior s'estén sobre una certa regió de l'espai-temps.