Espinor de Weyl

Un espinor de Weyl o espinor relativiste és un tipo d'espinor, element d'un espai vectorial $({ℂ}^2,\cdot )$ dotat d'una forma simpléctica que li dona estructura de varietat simpléctica llineal, usat per a representar de manera matemàticament convenient cuadrivectorés del espai-temps de Minkowski de quatre dimensions. Deuen el seu nom al matemàtic alemà Hermann Weyl, que els va investigar a principis de XX. Els espinores de Weyl generalisen als espinores de Pauli.

Introducció

Existix una correspondència cuadrivectores i certes matrius hermíticas expressables com a combinació de matrius de Pauli i l'identitat. Per a construir dita relació primer representem cuadrivectores $𝐗=(ct,x,y,z)$ com a matrius, de la següent forma:

Formalment esta matriu és un element del àlgebra de Lie del grup SL(2,C) que és un espai vectorial real de dimensió 6, per tant, isomorofo a l'espai ${ℝ}^6$. Denominarem a les matrius d'esta última forma que sí representen punts del espai-temps de Minkowski com "cuadrivectores de Weyl". Lo interessant d'esta forma de representar els cuadrivectores com "cuadrivectores de Weyl" o matrius de sl(2,C), és que les transformacions de Lorentz pròpies admeten una representació més simple en térmens d'estes matrius. Considerem una transformació de Lorentz del SO(1,3), $𝜦\in {\text{SO}}^{+}(1,3)$ i considerem la seua actuació sobre el cuadrivector $𝐗$:

Resulta que es pot alguna matriu $𝐋\in \text{SL}(2,ℂ)$ tal que el resultat de la rotació pot calcular-se com:

a on es té també ${\widehat{𝐗}}^{\prime }=\widehat{𝜦𝐫}$. De fet, ya que SL(2,C) és el grup topològic que és el recubridor universal de SO(3,1), sent com espai recubridor un espai que recobrix dos voltes la matriu $𝐋$ no és única, de fet tant $𝐋$ com la seua oposta $-𝐋$ satisfan la relació anterior. Una atra propietat notòria és que el determinant de la matriu que representa a un cuadrivector, coincidix numèricament en la pseudonorma del cuadrivector:

Definició d'espai simpléctico de espinores de Weyl

L'espai de espinores de Weyl $S_W=({ℂ}^2,𝝐)$ està format per parells de número complejo $({\xi }_1,{\xi }_2)\in S_P$ la forma dels quals simpléctica es definix com:

El producte tensorial de dos espinores es transforma com un cuadrivector, és dir, la combinació:

Note's que qualsevol "cuadrivector isótropo" o "de tipo llum" (en $c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2=0$) es pot expressar com a producte de dos espinores de Weyl que tenen components iguals a $|{\psi }^1|=\sqrt{ct+z}$, $|{\psi }^2|=\sqrt{ct-z}$ i $\text{arg}(\psi /{\psi }^2)=\arctan (y/x)$. Igualment es pot demostrar que certs productes en un número par de espinores de Weyl donen lloc a una mangitud que baix transformacions de Lorentz es transforma com una magnitut tensorial ordinària. No obstant, els productes d'un número impar de espinores de Weyl, són pròpiament magnituts espinoriales, i per tant, baix una rotació $2\pi$ al voltant d'un eix fix canvien de signe i, per tant, no poden ser interpretats com a magnituts tensoriales.