Representacions de àlgebra de Clifford

En matemàtiques, les representacions de les àlgebra de Clifford es coneixen també com a mòduls de Clifford. En general un àlgebra de Clifford C és un àlgebra simple central sobre una certa extensió del cos L del cos K sobre el qual es definix la forma quadràtica Q que definix a C.

Representacions matriciales de les àlgebra reals de Clifford

Tindrem que estudiar matrius anticonmutativas (AB = -BA) perque en les àlgebra de Clifford els vectores ortogonals anticonmutan

$A\cdot B=\frac{1}{2}(AB+BA)=0$

Per a les àlgebra de Clifford reals R_{p, q} es necessiten p + q matrius mútuament anticonmutantes, de les quals p tenen +1 com a quadrat i q tenen −1 com a quadrat.

$\begin{array}{ccccc}{\gamma }_a^2& =& +1& \text{si}& 1\le a\le p\\ {\gamma }_a^2& =& -1& \text{si}& p+1\le a\le p+q\\ {\gamma }_a{\gamma }_b& =& -{\gamma }_b{\gamma }_a& \text{si}& a\ne b\end{array}$

El sistema "K" per a nomenar matrius

Primer presentem un método cómodo per a nomenar matrius 2ⁿ x 2ⁿ

$K_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),K_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),K_2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),K_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

Note's que K₀ és la matriu identitat. Els noms varen ser elegits de tal manera que hi ha una regla simple per a recordar els productes:

K₁ K₂ = K₃

K₁ K₃ = K₂

K₂ K₃ = K₁

K₂ K₁ = -K₃

K₃ K₁ = -K₂

K₃ K₂ = -K₁.

L'increment d'índexs dona resultat positiu. Índexs que disminuïxen dona resultat negatiu.

¡Atenció! Estes no són les mateixes relacions que valen per a la base estàndar dels cuaterniones. Si es nomenara i = i₁, j = i₂ i k = i₃ es conseguiria

i₁ i₂ = i₃

i₂ i₃ = i₁

i₃ i₁ = i₂

l'última regla és diferent. Vorem més alvance que els cuaterniones purs i, j i k es poden representar per K₁₂, K₂₀ i K₃₂

Es recalca que

$K_0^2=K_1^2=K_3^2=K_0$

$K_2^2=-K_0$

K₂ és l'única en el quadrat negatiu, aixina que pot ser vista com la representació més simple de i.

Llavors donem a tots els possibles productes de Kronecker un nom (vore multiplicació de matrius):

$K_{ab}=K_a\otimes K_b$

$K_{abc}=K_a\otimes K_{bc}=K_a\otimes K_b\otimes K_c$

Alguns eixemples

$K_{30}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),K_{11}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Cada índex té el seu nivell (2x2, 4x4, 8x8, 16x16...)

K₁₃ és una K₃ en el nivell 2x2 i una K₁ en el nivell 4x4. En esta notació és molt fàcil multiplicar matrius quadrades grans lloc que

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AB\otimes CD$

Resolgam un eixemple

K ₁₂₃ K ₂₂₂ = K ₃₀₁

nivell-8x8 1 per 2 dona 3

nivell-4x4 2 per 2 dona 0 pero recorda el signe menys

nivell-2x2 3 per 2 dona 1 pero en una atra volta un signe menys

(hi ha cancelació dels dos signes menys aixina que el resultat és K₃₀₁)

Podem ara començar a construir els conjunts de matrius mútuament anticonmutantes ortogonals, a voltes cridades les matrius de Dirac. És obvi que dos matrius tals anticonmutan en un número impar d'índexs (l'índex 0 commuta en el restant d'índexs).

K₁₃ per eixemple anticonmuta en

K₀₁, K₀₂, K₁₁, K₁₂, K₂₀, K₂₃, K₃₀, K₃₃

i commuta en

K₀₀, K₁₀, K₁₃, K₂₁, K₂₂, K₃₁, K₃₂.

Si el índex 2 apareix un número par de voltes en el nom llavors el quadrat de la matriu és més (+) la matriu identitat, anem a cridar a açò un Kplus

eixemples són K₁, K₂₂, K₃₁₁, K₂₂₂₂

Si el índex 2 apareix un número impar de voltes en el nom llavors el quadrat de la matriu és menys (-) la matriu identitat, anem a cridar a açò un Kminus

eixemples són K₂, K₂₂₂, K₂₁₁, K₁₂₂₂

Ara tenim una manera molt simple de construir els conjunts possibles més grans de matrius anticonmutantes.

Comence en un conjunt existent {K₁, K₂, K₃}

Inserte un nou índex constant (per eixemple un 1 en la primera posició) i s'obté {K₁₁, K₁₂, K₁₃}

Llavors agregue dos matrius més que anticonmuten en el nou nivell i commuten en el vell nivell (per mig de l'índex zero 0)

Es conseguix {K₁₁, K₁₂, K₁₃, K₂₀, K₃₀}

Atres eixemples

{K₂₁, K₂₂, K₂₃, K₁₀, K₃₀}

{K₃₁, K₃₂, K₃₃, K₁₀, K₂₀}

{K₁₁₁, K₁₁₂, K₁₁₃, K₁₂₀, K₁₃₀, K₂₀₀, K₃₀₀}

{K₂₁₁, K₂₁₂, K₂₁₃, K₂₂₀, K₂₃₀, K₁₀₀, K₃₀₀}

{K₃₁₁, K₃₁₂, K₃₁₃, K₃₂₀, K₃₃₀, K₁₀₀, K₂₀₀}

Es conseguix sempre un conjunt en un número impar de matrius i hi ha sempre un Kplus més que Kminus.

Cada una d'elles es pot escriure com el producte de totes les demés. Eixemple K₁₁ K₁₂ K₁₃ K₂₀ = K₃₀.