Teorema de Artin-Wedderburn

La teorema de Wedderburn-Artin establix que un anell semisimple A és isomorfo a un producte de $k$ anells de matrius d'orde $n_i$ sobre anells de divisió $C_i$ a on $k$, $n_i$ i $C_i$ estan determinats de forma única llevat l'orde $(i=1,2,\dots ,k)$. Com a conseqüència s'obté que qualsevol anell simple i artiniano per l'esquerra (o per la dreta) és isomorfo a un anell de matrius d'orde n sobre un anell de divisió.

La teorema de Wedderburn-Artin reduïx el problema de classificar anells simples sobre un anell de divisió a classificar anells de divisió que contenen un anell de divisió donat. I açò encara pot simplificar-se més: el centre d'un anell de divisió serà un cos K. Per lo tant, A és una K-àlgebra que té a K com a centre. Aixina, un àlgebra simple de dimensió finita és un àlgebra simple central sobre K. Conseqüentment, la teorema de Wedderburn-Artin reduïx el problema de classificar les àlgebra simples centrals de dimensió-finita al problema de classificar anells de divisió en un centre donat de bestreta.

Eixemples

Siga $ℝ$ el cos dels número real, $ℂ$ el dels número complejo, i $ℍ$ l'anell de divisió dels cuaterniones.

• Tota àlgebra simple de dimensió finita sobre $ℝ$ és un anell de matrius sobre $ℝ$, $ℂ$ o $ℍ$.
• Tota àlgebra simple de dimensió finita sobre $ℂ$ és un anell de matrius sobre $ℂ$ i per tant, cada àlgebra central simple sobre $ℂ$ és un anell de matrius sobre $ℂ$.
• Tota àlgebra central simple de dimensió finita sobre un cos finito és un anell de matrius sobre eixe cos.

Vore també

• Teorema de Maschke