Funció simètrica

En matemàtiques, una funció en $n$ variables es diu simètrica si el seu valor no canvia en modificar l'orde dels seus arguments. Per eixemple, una funció $f(x_1,x_2)$ de dos variables és una funció simètrica si i només si $f(x_1,x_2)=f(x_2,x_1)$ per a qualssevol $x_1$ i $x_2$ tals que $(x_1,x_2)$ i $(x_2,x_1)$ estan en el domini de $f.$ Les funcions simètriques més importants són les polinòmiques, que vénen donades pels polinomis simètrics.

Una noció relacionada és la de polinomi altern, que es referix a un polinomi que canvia de signe en intercanviar dos variables. Ademés de les funcions polinòmiques, els tensors que actuen com a funcions de varis vectores també poden ser simètrics, i de fet l'espai dels $k$-tensors simètrics sobre un espai vectorial $V$ és isomorfo a l'espai de polinomis homogéneus de grau $k$ sobre $V.$ No deu confondre's el concepte en el de funciones parells i impar, que tenen un tipo diferent de simetria.

Simetrización

Donada qualsevol funció $f$ en $n$ variables que pren valors en un grup abeliano, es pot construir una funció simètrica sumant els valors de $f$ sobre totes les $n!$ permutació dels seus arguments. De manera similar, es pot construir una funció antisimètrica sumant en les permutació pares i restant la suma en les permutació impars. Estes operacions, per supost, no són invertibles, i be podrien donar com resultat una funció que és idénticamente zero per a funcions no trivials. L'únic cas general en el que $f$ es pot recuperar si es coneixen tant el seu simetrización com el seu antisimetrización és quan $n=2$ i el grup abeliano admet divisió per 2 (inversa de la duplicació); en eixe cas $f$ és igual a la mitat de la suma de la seua simetrización i la seua antisimetrización.

Eixemples

• Es considera la funció real donada per:

$$f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).$$

Per definició, una funció simètrica en $n$ variables té la següent propietat:

$$f(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)=f(x_2,x_1,\mathrm{...},x_n)=f(x_3,x_1,\mathrm{...},x_n),\text{etc.}$$En general, la funció es manté igual baix qualsevol permutació de les seues variables. Açò significa que, en este cas,

$$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)$$

i aixina successivament, per a totes les permutació de $x_1,x_2,x_3$.

• La funció

$$f(x,y)=x^2+y^2-r^2$$complix que, en intercanviar $x$ i $y$, s'obté $f(y,x)=y^2+x^2-r^2$, que dona exactament els mateixos resultats que l'original $f(x,y)$.

• Si $f$ ve ara donada per

$$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2-r^2$$.

Si s'intercanvien les variables, $f$ es convertix en $f(y,x)=a{y}^2+b{x}^2-r^2$. Esta funció no coincidix en l'original si $a\ne b$, i per lo tant no és simètrica.

Vore també

• Polinomi simètric
• Polinomi simètric elemental
• Polinomi altern
• Simetrización i antisimetrización de tensors
• Funciones parells i impar - Funcions matemàtiques en simetria específiques
• Polinomi de Vandermonde (determinant de la matriu de Vandermonde)

Bibliografia

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Trencada, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Trencada Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.