Fracció contínua generalisada

En anàlisis complex, una branca de les matemàtiques, una fracció contínua generalisada o fracció fractal és una generalisació d'una fracció contínua en la qual els numeradors parcials i els denominadors parcials poden prendre qualssevol valors reals o complexos.

Una fracció contínua generalisada és una expressió de la forma:

$x=b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\frac{a_4}{b_4+\ddots }}}}$

a on els a_n (n > 0) són els numeradors parcials, els b_n són els denominadors parcials i el terme principal b₀ és el cridat part sancera de la fracció contínua.

Les convergents successives de la fracció contínua es forma aplicant les fòrmules fonamentals de recurrencia:

$x_0=\frac{A_0}{B_0}=b_0,x_1=\frac{A_1}{B_1}=\frac{b_1{b}_0+a_1}{b_1},x_2=\frac{A_2}{B_2}=\frac{b_2(b_1{b}_0+a_1)+a_2{b}_0}{b_2{b}_1+a_2},\cdots$

a on A_n és el numerador i B_n és el denominador (també cridat continuante ) del n-ésimo convergent.

Si la successió de convergents {x_n} té llímit, la fracció contínua és convergent i té un valor definit. Si la successió de convergents no té llímit, la fracció contínua és divergent. La divergència pot donar-se per oscilació (per eixemple, els convergents parells i impar poden tendir a distint llímit) o per tendència a infinit o denominadors B_n iguals a zero.

Història de les fraccions contínues

L'història de les fraccions contínues comença en l'Algoritme de Euclides, un procediment per a trobar el màxim comú divisor de dos número natural m i n. Eixe algoritme va introduir l'idea de dividir per a extraure un nou restant i llavors dividir pel nou restant de nou i aixina, successivament.

Prop de dos mil anys despuix, Rafael Bombelli va trobar una tècnica per a l'aproximació de les raïls d'equacions quadràtiques en fraccions contínues. A partir d'ahí, el ritme de desenroll es va accelerar. Just 24 anys despuix Pietro Cataldi va presentar la primera notació formal per a la fracció contínua generalisada. Cataldi representava una fracció contínua com

$a_0.\mathrm{\&}\frac{n_1}{d_1.}\mathrm{\&}\frac{n_2}{d_2.}\mathrm{\&}\frac{n_3}{d_3},$

a on els punts indicaven on aniria la següent fracció i cada & representa a l'actual signe «més».

Més vesprada, en el XVII John Wallis va introduir el terme «fracció contínua» en la lliteratura matemàtica. Noves tècniques d'anàlisis mátematico havien segut presentades per Newton i Leibniz i una generació de contemporàneus de Wallis es varen posar a usar el terme immediatament.

En 1748 Euler va publicar un teorema molt important mostrant que un tipo particular de fracció contínua és equivalent a certa série infinita molt general. La teorema de fraccions contínues de Euler té encara una importància crucial en els intents actuals de reducció en el problema de convergència.

Les fraccions contínues poden aplicar-se també a problemes de la teoria de números i són especialment útils en l'estudi d'equacions diofánticas. A finals de el XVIII Lagrange va usar fraccions contínues per a construir la solució general de l'equació de Pell, donant aixina resposta a una qüestió que havia fascinat als matemàtics durant més de mil anys. Sorprenentment, el descobriment de Lagrange implicava que l'expansió de raïl quadrada de la fracció contínua canònica de qualsevol sancer no quadrat perfecte és periòdica i aixina, si el periodo és de llongitut p > 1, conté una successió palindrómica de llongitut p - 1.

En 1813 Gauss va usar un ingeniós truc en la funció hipergeométrica complexa per a derivar una expressió en forma de fracció contínua que ha segut denominada en el seu honor. Eixa fòrmula pot usar-se per a expressar moltes funcions elementals (i inclús més funcions alvançades, com les funcions de Bessel com a fraccions contínues ràpidament convergents vàlides casi sempre en el pla complex.

Notació

La gran expressió de fracció contínua mostrada en l'introducció és, provablement, la forma més intuïtiva de fracció contínua per al llector. Desafortunadament, ocupa un montó d'espai en un llibre (i tampoc és fàcil la seua escritura). Aixina que els matemàtics han trobat algunes notacions alternatives. Una forma apropiada d'expressar una fracció contínua generalisada té el següent aspecte:

$x=b_0+\frac{a_1}{b_1+}\frac{a_2}{b_2+}\frac{a_3}{b_3+}\cdots$

Pringsheim va escriure una fracció contínua generalisada del següent modo:

$x=b_0+\frac{a_1\mid }{\mid b_1}+\frac{a_2\mid }{\mid b_2}+\frac{a_3\mid }{\mid b_3}+\cdots$.

Karl Friedrich Gauss evocava el més familiar producte infinit Π quan va idear esta notació:

$x=b_0+\underset{i=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{K}}}\frac{a_i}{b_i}.$

Ací K significa Kettenbrüche, la paraula alemana per a "fracció contínua". Esta és provablement la forma més compacta i convenient per a expressar fraccions contínues.

Vore també

• Fracció contínua
• Fracció contínua de Gauss
• Fracció contínua de Euler