Fracció contínua de Euler

En teoria analítica de fraccions contínues, la fracció contínua de Euler és una identitat que conecta una classe general de séries infinites en una fracció contínua infinita. Publicada per primera volta en 1748, va ser considerada en un principi com una identitat simple que conectava una suma de térmens finitos en una fracció contínua finita, a on l'extensió al cas infinit apareixia immediatament. Actualment, és una molt apreciada i útil ferramenta en desenrolls analítics en el problema de la convergència general per a fraccions contínues infinites en elements complexos.

Formulació original

Leonhard Euler va obtindre la fòrmula com una identitat que conecta una suma finita de productes en una fracció contínua finita com:

$a_0+a_0{a}_1+a_0{a}_1{a}_2+\cdots +a_0{a}_1{a}_2\cdots a_n=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{\ddots }{\ddots \frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}-\frac{a_n}{1+a_n}}}}}}$

L'identitat pot ser fàcilment obtinguda per mig d'inducció en n, i per lo tant, també aplicable en el cas llímit: si l'expressió de la part esquerra tendix a expressar-se com una série convergent infinita, l'expressió de la dreta també tendirà a expressar-se com una fracció contínua infinita convergent.

Notació moderna

Si

és una fracció contínua en elements complexos, i cap dels denominadors B_i són zero, una seqüència de ràtios {r_i} pot ser definida per:

Per a un x i un r_i aixina definits, les següents igualtats poden demostrar-se per inducció.

Esta igualtat es pot entendre com una equivalència, en el sentit de que la n-esimo terme convergent de cada fracció contínua és igual a la n-ésima suma parcial de la série mostrada dalt. Aixina, si eixa série és convergent o uniformemente convergent, quan els a_i i b_i són funcions de variable complexa z, llavors les fraccions contínues equivalents també convergixen, o convergixen uniformement.

Vore també

• Leonhard Euler
• Fracció contínua
• Fracció contínua de Gauss

Bibliografia

• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.