Fracció contínua de Gauss

En anàlisis complex la fracció contínua de Gauss és un cas particular de fracció contínua generalisada derivada de la série hipergeométrica. Va ser una de les primeres fraccions contínues analítiques conegudes en matemàtiques i pot usar-se per a representar vàries funcions elementals importants, aixina com algunes de les més complicades funcions trascendentes.

Història

En 1768 Lambert va publicar varis eixemples de fraccions contínues d'este tipo i abdós, Euler i Lagrange varen investigar construccions similars, no obstant va ser Gauss qui va utilisar l'ingeniós desenroll descrit en la següent secció per a deduir la forma general d'esta fracció contínua, en 1813.

Encara que Gauss li va donar la forma d'esta fracció contínua, no va oferir una prova de les seues propietats de convergència. Bernhard Riemann i Thomé varen obtindre resultats parcials, pero la demostració final en la regió en la que esta fracció contínua convergix no es va obtindre fins a 1901, per Edward Burr Van Vleck.

Derivació

Siga $f_0,f_1,f_2,\dots$ una seqüència de funcions analítiques tals que

$f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+1}$

per a tot $i>0$, a on cada $k_i$ és constant.

Llavors

$\frac{f_{i-1}}{f_i}=1+k_{i}z\frac{f_{i+1}}{f_i},\frac{f_i}{f_{i-1}}=\frac{1}{1+k_{i}z\frac{f_{i+1}}{f_i}}$.

Establint $g_i=f_i/f_{i-1}$,

$g_i=\frac{1}{1+k_{i}z{g}_{i+1}}$,

Aixina

$g_1=\frac{f_1}{f_0}=\frac{1}{1+k_{1}z{g}_2}=\frac{1}{1+\frac{k_{1}z}{1+k_{2}z{g}_3}}=\frac{1}{1+\frac{k_{1}z}{1+\frac{k_{2}z}{1+k_{3}z{g}_4}}}=\dots$.

Repetint el raonament successivament s'obté l'expressió de la fracció contínua

$\frac{f_1}{f_0}=\frac{1}{1+\frac{k_{1}z}{1+\frac{k_{2}z}{1+\frac{k_{3}z}{1+{}_{\ddots }}}}}$

En la fracció contínua de Gauss, les funcions $f_i$ són funcions hipergeométricas de la forma ${}_0{F}_1$, ${}_1{F}_1$, i ${}_2{F}_1$, i les equacions $f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+1}$ sorgixen com a identitats entre funcions a on els paràmetros diferixen en cantitats sanceres. Estes identitats poden provar-se de vàries formes, per eixemple, expandint la série i comparant coeficients, o fent les derivades de vàries formes i eliminant-les de les equacions generades.

La série ₀F₁

El cas més simple involucra

${}_0{F}_1(;a;z)=1+\frac{1}{a1!}z+\frac{1}{a(a+1)2!}{z}^2+\frac{1}{a(a+1)(a+2)3!}{z}^3+\cdots$.

Començant en l'identitat

${}_0{F}_1(;a-1;z)-{}_0{F}_1(;a;z)=\frac{z}{a(a-1)}{}_0{F}_1(;a+1;z)$,

podem prendre

$f_i={}_0{F}_1(;a+i;z),k_i=\frac{1}{(a+i)(a+i-1)}$,

donant

$\frac{{}_0{F}_1(a+1;z)}{{}_0{F}_1(a;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{1}{a(a+1)}z}{1+\frac{\frac{1}{(a+1)(a+2)}z}{1+\frac{\frac{1}{(a+2)(a+3)}z}{1+{}_{\ddots }}}}}$

o

$\frac{{}_0{F}_1(a+1;z)}{a{}_0{F}_1(a;z)}=\frac{1}{a+\frac{z}{(a+1)+\frac{z}{(a+2)+\frac{z}{(a+3)+{}_{\ddots }}}}}$.

Esta expansió convergix a la funció meromórfica definida pel cocient entre les dos séries convergents (sempre que, per supost, eixa a no siga zero, ni un sancer negatiu).

La série ₁F₁

El cas següent supon

${}_1{F}_1(a;b;z)=1+\frac{a}{b1!}z+\frac{a(a+1)}{b(b+1)2!}{z}^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)3!}{z}^3+\dots$

per ad açò les dos identitats

${}_1{F}_1(a;b-1;z)-{}_1{F}_1(a+1;b;z)=\frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}{}_1{F}_1(a+1;b+1;z)$

${}_1{F}_1(a;b-1;z)-{}_1{F}_1(a;b;z)=\frac{az}{b(b-1)}{}_1{F}_1(a+1;b+1;z)$

s'usen alternativament.

Siga

$f_0(z)={}_1{F}_1(a;b;z)$,

$f_1(z)={}_1{F}_1(a+1;b+1;z)$,

$f_2(z)={}_1{F}_1(a+1;b+2;z)$,

$f_3(z)={}_1{F}_1(a+2;b+3;z)$,

$f_4(z)={}_1{F}_1(a+2;b+4;z)$,

etc.

Açò dona $f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+1}$ a on $k_1=\frac{a-b}{b(b+1)},k_2=\frac{a+1}{(b+1)(b+2)},k_3=\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)},k_4=\frac{a+2}{(b+3)(b+4)}$, produint

$\frac{{}_1{F}_1(a+1;b+1;z)}{{}_1{F}_1(a;b;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{a-b}{b(b+1)}z}{1+\frac{\frac{a+1}{(b+1)(b+2)}z}{1+\frac{\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)}z}{1+\frac{\frac{a+2}{(b+3)(b+4)}z}{1+{}_{\ddots }}}}}}$

o

$\frac{{}_1{F}_1(a+1;b+1;z)}{b{}_1{F}_1(a;b;z)}=\frac{1}{b+\frac{(a-b)z}{(b+1)+\frac{(a+1)z}{(b+2)+\frac{(a-b-1)z}{(b+3)+\frac{(a+2)z}{(b+4)+{}_{\ddots }}}}}}$

De forma similar

$\frac{{}_1{F}_1(a;b+1;z)}{{}_1{F}_1(a;b;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{a}{b(b+1)}z}{1+\frac{\frac{a-b-1}{(b+1)(b+2)}z}{1+\frac{\frac{a+1}{(b+2)(b+3)}z}{1+\frac{\frac{a-b-2}{(b+3)(b+4)}z}{1+{}_{\ddots }}}}}}$

o

$\frac{{}_1{F}_1(a;b+1;z)}{b{}_1{F}_1(a;b;z)}=\frac{1}{b+\frac{az}{(b+1)+\frac{(a-b-1)z}{(b+2)+\frac{(a+1)z}{(b+3)+\frac{(a-b-2)z}{(b+4)+{}_{\ddots }}}}}}$

Des de ${}_1{F}_1(0;b;z)=1$, posem a a 0 i reemplacem b + 1 en b en la primera fracció contínua s'obté un cas especial simplificat:

${}_1{F}_1(1;b;z)=\frac{1}{1+\frac{-z}{b+\frac{z}{(b+1)+\frac{-bz}{(b+2)+\frac{2z}{(b+3)+{}_{\ddots }}}}}}$

La série ₂F₁

El cas final supon

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=1+\frac{ab}{c1!}z+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)2!}{z}^2+\frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)3!}{z}^3+\dots$.

De nou, s'usen dos identitats alternativament.

${}_2{F}_1(a,b;c-1;z)-{}_2{F}_1(a+1,b;c;z)=\frac{(a-c+1)bz}{c(c-1)}{}_2{F}_1(a+1,b+1;c+1;z)$,

${}_2{F}_1(a,b;c-1;z)-{}_2{F}_1(a,b+1;c;z)=\frac{(b-c+1)az}{c(c-1)}{}_2{F}_1(a+1,b+1;c+1;z)$.

Estes són, essencialment, la mateixa identitat en a i b intercanviades.

Siga

$f_0(z)={}_2{F}_1(a,b;c;z)$,

$f_1(z)={}_2{F}_1(a+1,b;c+1;z)$,

$f_2(z)={}_2{F}_1(a+1,b+1;c+2;z)$,

$f_3(z)={}_2{F}_1(a+2,b+1;c+3;z)$,

$f_4(z)={}_2{F}_1(a+2,b+2;c+4;z)$,

etc.

Açò proporciona $f_{i-1}-f_i=k_{i}z{f}_{i+1}$ a on $k_1=\frac{(a-c)b}{c(c+1)},k_2=\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)},k_3=\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)},k_4=\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}$, produint

$\frac{{}_2{F}_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2{F}_1(a,b;c;z)}=\frac{1}{1+\frac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}z}{1+\frac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}z}{1+\frac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}z}{1+{}_{\ddots }}}}}}$

o

$\frac{{}_2{F}_1(a+1,b;c+1;z)}{c{}_2{F}_1(a,b;c;z)}=\frac{1}{c+\frac{(a-c)bz}{(c+1)+\frac{(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+\frac{(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+\frac{(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}_{\ddots }}}}}}$

Des de ${}_2{F}_1(0,b;c;z)=1$, donem a a el valor 0 i reemplacem c + 1 en c obtenint-se un cas especial simplificat de la fracció contínua:

${}_2{F}_1(1,b;c;z)=\frac{1}{1+\frac{-bz}{c+\frac{(b-c)z}{(c+1)+\frac{-c(b+1)z}{(c+2)+\frac{2(b-c-1)z}{(c+3)+{}_{\ddots }}}}}}$

Referències

• Jones (1980). Continued Fractions: Theory and Applications, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, pp. 198-214. ISBN 0-201-13510-8.
• Wall, H. S. (1973). Analytic Theory of Continued Fractions, Chelsea Publishing Company, pp. 335-361. ISBN 0-8284-0207-8.
  (This is a reprint of the volume originally published by D. Van Nostrand Company, Inc., in 1948.)