Série binomial

La serie binomial^[1] es la serie de Taylor para una función $f$ dada por $f (x) = (1 + x)^{α}$ , donde $α \in ℂ$ es un número complejo arbitrario. Explícitament,

\begin{matrix} (1 + x)^{α} & = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α}{k}) x^{k} (1) \\ = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots, \end{matrix}

y la serie binomial es la serie de potencias en el lado derecho de (1), expresada en términos de coeficientes binomiales (generalizados)

(\binom{α}{k}) : = \frac{α (α - 1) (α - 2) \dots (α - k + 1)}{k!} .

Casos especiales

Si α es un número entero no negativo n, entonces el término (n + 2) y todos los términos posteriores de la serie son 0, ya que cada uno contiene un factor (n − n); por tanto, en este caso la serie es finita y se obtiene la fórmula binomial algebraica.

La siguiente variante es válida para complejos arbitrarios β, pero es especialmente útil para manejar exponentes enteros negativos en (1):

\frac{1}{(1 - z)^{β + 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{k + β}{k}) z^{k} .

Para probarlo, sustitúyase x = -z en (1) y aplíquese una identidad de coeficiente binomial, que es,

(\binom{- β - 1}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k + β}{k}) .

Convergencia

Condiciones de convergencia

Si (1) converge depende de los valores de los números complejos $α$ y $x$ . Más precisamente:

Si $| x | < 1$ , la serie converge absolutamente para cualquier número complejo α.
Si $| x | = 1$ , la serie converge absolutamente si y solo si $Re(α) > 0$ o bien $α = 0$ .
Si $| x | = 1$ y $x \neq -1$ , la serie converge si y solo si $Re(α) > -1$ .
Si $x = -1$ , la serie converge si y solo si $Re(α) > 0$ o $α = 0$ .
If $| x | > 1$ , la serie diverge, excepto si $α$ es un número entero no negativo (en cuyo caso la serie es una suma finita).

En particular, si $α$ no es un número entero no negativo, la situación en el límite del disco de convergencia, $| x | = 1$ , se resume de la siguiente manera:

Si $Re(α) > 0$ , la serie converge absolutament.
Si $-1 < Re(α) \leq 0$ , la serie converge condicionalmente si $x \neq -1$ y diverge si $x = -1$ .
Si $Re(α) \leq -1$ , la serie diverge.

Identidades que se utilizarán en la demostración

Lo siguiente es válido para cualquier número complejo α:

(\binom{α}{0}) = 1,

(\binom{α}{k + 1}) = (\binom{α}{k}) \frac{α - k}{k + 1}, (2)

(\binom{α}{k - 1}) + (\binom{α}{k}) = (\binom{α + 1}{k}) . (3)

A menos que $α$ sea un número entero no negativo (en cuyo caso los coeficientes binomiales desaparecen cuando $k$ es mayor que $α$ ), una relación asintótica útil para los coeficientes binomiales es, en notación de Landau:

(\binom{α}{k}) = \frac{(- 1)^{k}}{Γ (- α) k^{1 + α}} (1 + o (1)), como k \to \infty . (4)

Esto es esencialmente equivalente a la definición de Euler de la función gamma:

Γ (z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! k^{z}}{z (z + 1) \dots (z + k)},

e implica inmediatamente los límites más amplios

\frac{m}{k^{1 + Re α}} \leq | (\binom{α}{k}) | \leq \frac{M}{k^{1 + Re α}}, (5)

para algunas constantes positivas myM.

La fórmula (2) para el coeficiente binomial generalizado se puede reescribir como

(\binom{α}{k}) = \prod_{j = 1}^{k} (\frac{α + 1}{j} - 1) . (6)

Demostración

Para probar (i) y (v), se debe aplicar el criterio del cociente y usar la fórmula (2) anterior para demostrar que siempre que $α$ no es un número entero no negativo, el radio de convergencia es exactamente 1. La parte (ii) sigue de la fórmula (5), en comparación con las series armónicas

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}},

con $p = 1 + Re α$ . Para demostrar (iii), primero se debe usar la fórmula (3) para obtener

(1 + x) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{α}{k}) x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{α + 1}{k}) x^{k} + (\binom{α}{n}) x^{n + 1}, (7)

i després s'usa (ii) i la fòrmula (5) novament per a provar la convergència del costat dret quan se supon que $Re α > - 1$ . Per un atre costat, la série no convergix si $| x | = 1$ i $Re α \leq - 1$ , novament per la fòrmula (5). Alternativament, es pot observar açò para tot $j, | \frac{α + 1}{j} - 1 | \geq 1 - \frac{Re α + 1}{j} \geq 1$ . Per tant, per la fòrmula (6), per a tot $k, | (\binom{α}{k}) | \geq 1$ . Açò completa la prova de (iii). Passant a (iv), s'usa l'identitat (7) anterior en $x = - 1$ i $α - 1$ en lloc de $α$ , junt en la fòrmula (4), per a obtindre

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{α}{k}) (- 1)^{k} = (\binom{α - 1}{n}) (- 1)^{n} = \frac{1}{Γ (- α + 1) n^{α}} (1 + o (1))

com $n \to \infty$ . L'afirmació (iv) se seguix ara del comportament asintòtic de la seqüència $n^{- α} = e^{- α \log (n)}$ . (Precisament, $| e^{- α \log n} | = e^{- Re α \log n}$ que certament convergix a $0$ si $Re α > 0$ i divergix a $+ \infty$ si $Re α < 0$ . Si $Re α = 0$ , llavors $n^{- α} = e^{- i Im α \log n}$ convergix si i solament si la seqüència $Im α \log n$ convergix a $mod 2 π$ , lo que certament és cert si $α = 0$ pero fals si $Im α \neq 0$ : en este últim cas, la seqüència és densa en $mod 2 π$ , pel fet de que $\log n$ divergix i $\log (n + 1) - \log n$ convergix a zero).

Vore també

Referències

↑ Michael Z. Spivey. [1], CRC Press. ISBN 9781351215817.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie binomial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[MZS-1] Michael Z. Spivey. [1], CRC Press. ISBN 9781351215817.

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