Rigor matemàtic

S'entén per rigor matemàtic (o també, «precisió matemàtica», encara que en un context alguna cosa diferent) una manera llògica i clara de treballar dins de l'àmbit de les matemàtiques. Engloba, per una part, aquell procedir axiomàtic a partir de definicions i, per una atra, l'obligatorietat de la demostració, un sistema de passos que usa necessàriament l'hipòtesis i atres passos justificats en proposicions prèvies dins de la teoria respectiva. Ademés, es pretén seguir el método de la deducció sistemàtica. Com a conseqüència de l'aplicació del rigor matemàtic, els teoremas són per principi veritats definitives i de vigència general, de modo tal que la matemàtica pot ser considerada la ciència exacta. El rigor matemàtic no constituïx un fi en sí mateixa, sino un mig necessari per a possibilitar progressos perdurables en la matemàtica. El rigor és també, en el sentit grec, una bona «escola de pensament». Com a efecte ulterior, el rigor matemàtic també tira per resultat una simplificació de les explicacions i demostracions matemàtiques.

Aristóteles, fundador de la llògica.

Història

Representació de Euclides en el Museu d'Història Natural de l'Universitat d'Oxford.

Carl Friedrich Gauss.

Augustin Louis Cauchy.

Karl Weierstrass.

Els primers intents d'establir el rigor matemàtic a través de la axiomatisació i deducció sistemàtica ya es poden vore en temps de la matemàtica grega, especialment en Euclides en les seues Elements (finals de el IV). No obstant, en l'antiguetat es va preferir en freqüència un tractament de la matemàtica menys rigorós que el euclidiano. També era clar que el principi del rigor matemàtic no es podia transferir a totes les ciències. Aixina, Aristóteles va escriure que «el rigor matemàtic no és exigible en totes les coses, mes sí en les immaterials» Despuix d'un llarc periodo d'estancament, en el XVII es va experimentar un auge de les ciències matemàtiques en la geometria analítica i el càlcul infinitesimal. L'ideal grec de l'axiomàtica i de la deducció sistemàtica es va transformar, no obstant, en un escull per als matemàtics productius d'aquell temps. Els resultats desempañaban un paper més important que el camí cap a ells. Varen justificar inicialment este procedir, el fort sentiment intuïtiu i la convicció casi cega acosta la força dels nous métodos recent creats. L'era del començ de l'industrialisació va continuar reforçant esta forma d'actuar. En tal autoconfianza, Sylvestre Lacroix senyalava (encara en 1810): «Hui en dia ya no necessitem eixos detallismos en els que es torturaven els grecs».

Recent al començament de el XIX, l'èxtasis pel progrés creixent va ser reemplaçat per un nou despertar de l'autocrítica. Va aparéixer la necessitat d'assegurar els resultats i la claritat. Despuix de la revolució francesa, este procés va ser recolzat per una àmplia difusió dels fonaments del quefer científic.

L'obra Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss és considerada una de les primeres obres modele sobre el rigor matemàtic. Està escrita completament apegada a l'estil de teorema – demostració– corolari i no conté indicacions sobre qué va motivar a Gauss a seguir determinades llínees de desenroll de les demostracions i es preocupa d'ocultar la via concreta per la que l'autor va aplegar a realisar els seus descobriments. L'últim assunt no és, no obstant, un aspecte del rigor matemàtic, sino una característica especial de Gauss.

A través dels treballs d'Augustin Louis Cauchy i Karl Weierstrass es va establir el càlcul infinitesimal sobre un fonament segur i rigorós, per mig de l'auge del anàlisis matemàtic i les definicions rigoroses del concepte de llímit. El sigle XlX va quedar en açò caracterisat per una consciència efectiva sobre l'ideal clàssic de la precisió i el rigor de la demostració, a on el model de la ciència grega inclús es va superar. Encara abans de Cauchy, Bernhard Bolzano va contribuir de manera important al tractament del anàlisis en rigor matemàtic, en el seu treball de 1817: «Demostració purament analítica de la teorema de que, entre dos valors que tiren un resultat opost, existix per lo manco una raïl real de l'equació» ( Rein analytischer Beweis dones Lehrsatzes, donaß zwischen zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege)

Cita

Aleksánder Danilóvich Aleksándrov ha senyalat al respecte:

«Moralment, la matemàtica nos ensenya a comportar-nos en rigor front a lo que s'afirma com a veritat, a lo que s'esgrimix com a argument o a lo que es presenta com a demostració. La matemàtica exigix claritat dels conceptes i afirmacions i no tolera boira o explicacions no demostradores».

Vore també

• Intuicionismo
• Formalisme

Bibliografia

• Eisenreich, Günther; Puja, Ralph (1996). Langenscheidts Fachwörterbuch Mathematik: englisch, deutsch, französisch, russisch, Berlín: Langenscheidt, pp. 499. ISBN 3-86117-074-4.
• Courant, Richard; Robbins, {{{nom2}}} (2000). Was ist Mathematik? (en alemà), Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-63777-X.
• Jahnke, Hans Niels (complilador) (1999). Geschichte der Analysis (en alemà), Berlín: Spektrum Akademischer Verlag.
• Becker, Oskar (1959). Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise; Capítul: Kritische Begründung der Analysis. (en alemà), Freiburg/München: Karl Alber, pp. 108–111.
• Heuser, Harro (2000). Lehrbuch der Analysis; Teil 2; Kapitel 29:Ein historischer tour d’horizon. (en alemà), Stuttgart: Teubner, pp. 689–700.
• Davis; Hersh, {{{nom2}}} (1996). Erfahrung Mathematik (en alemà), Basilea: Birkhäuser.
• Archibald, Tom (2008). The Development of Mathematical Rigor in Analysis. In Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader(Hrsg.): The Princeton Companion to Mathematics. (en anglés), Princeton University Press, pp. 117-129. ISBN 9780691118802.

• «Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective».Mathematics Magazine.64(5)

291-314.Consultat el 27 de juliol de 2016.

• (1941).«Some aspects of the problem of mathematical rigor».Bulletin of the American Mathematical Society.
• (1928).«Mathematical rigor, past and present».Consultat el 27 de juliol de 2016.