Quadratura del rectàngul

Quadratura d'un rectàngul de costats a i b (Método de les altures): per a trobar el costat del quadrat en la mateixa àrea, basta dibuixar una circumferència de ràdio R=(a+b)/2 centrada en el segment b+a, i traçar una perpendicular al segment anterior pel punt per a on s'unixen les seues dos parts. La distancia c d'este punt al tall de la perpendicular en la circumferència és el costat del quadrat buscat, de manera que (c·c=a·b). En l'eixemple de l'image, es pot comprovar fàcilment que en a=2 i b=8, llavors R=5 i c=4, verificant-se que R²=c²+(R-a)²

La quadratura del rectàngul és una tasca de la geometria clàssica. Consistix en obtindre un quadrat en la mateixa àrea que un rectàngul dau, utilisant exclusivament una regla i un compàs. A diferència de la quadratura del círcul, que no té solució, el rectàngul es pot quadrar de diferents maneres.

Proposicions de partida

Triàngul rectàngul

El punt de partida per a les següents dos construccions són dos propietats matemàtiques dels triànguls rectànguls que es remonten a Euclides: el teorema de la mija geomètrica i el teorema del cateto.

Sean a i b els catetos d'un triàngul rectàngul i siga c la seua hipotenusa. Siga h l'altura perpendicular al costat c, i siguen p i q les dos seccions en les que dividix l'hipotenusa. Llavors s'apliquen les següents relacions:

$h^2=p\cdot q$ (teorema de les altures de Euclides)

$a^2=c\cdot p$ i $b^2=c\cdot q$ (teorema del cateto de Euclides)

Método de les altures

Quadratura usant la teorema de les altures

Independentment de les proporcions del rectàngul donat (ací, en color vert), s'assumix que un costat és la secció de l'hipotenusa p i l'atre costat és la secció de l'hipotenusa q d'un triàngul rectàngul. Després, es pivota el costat més curt de l'àngul recte i s'obté la base d'un triàngul rectàngul. Sobre esta base s'aplica el teorema de Tals. L'extensió del costat més curt del triàngul rectàngul interseca la circumferència de Tals i proporciona l'altura del triàngul rectàngul en les seccions d'hipotenusa p i q. Si ara es construïx un quadrat (ací taronja) per damunt d'esta altura, llavors té exactament la mateixa àrea que el rectàngul donat.

Vore també

• Quadratura del quadrat
• Quadratura de polígons

Bibliografia

• Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 193, 212, 415–417
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 31–32