Polinomi mínim (teoria de cossos)

Erro al crear miniatura:

Carl Friedrich Gauss va utilisar polinomis mínims denominat ciclotòmics per a determinar els polígons regulars construibles en regla i compàs

En teoria de cossos, el polinomi mínim sobre un cos conmutativo K d'un element algebraic d'una extensió de K, és el polinomi mónico de grau mínim entre els polinomis en coeficients en el cos base K que es cancelen en l'element donat. El polinomi mínim és divisor del restant dels mencionats polinomis que es cancelen en l'element donat. Ademés, és un polinomi irreducible. En el cas d'una extensió del cos dels número racional (en particular d'un cos numèric), es parla d'un número algebraico, i per lo tant, del polinomi mínim d'un número algebraico.

És una noció elemental útil tant en teoria clàssica de Galois com en teoria d'número algebraico. Aixina, en una extensió del cos K a on el polinomi mínim de a és separat, els elements conjugats de a sò totes les raïls del seu polinomi mínim; i els automorfismes de cos de dita extensió (que formen el grup de Galois del mateix) deixant estable a K necessàriament associat en a, són cada u dels seus elements conjugats.

Una extensió de K també és un àlgebra associativa en K, i és possible definir de manera més general el polinomi mínim en este marc, que també cobrix l'àlgebra llineal i els endomorfismes d'un espai vectorial sobre K. El polinomi mínim d'un element algebraic a sobre K és també, des del punt de vista del àlgebra llineal, el polinomi mínim de l'endomorfisme x ↦ ax de l'extensió vista com un K-espai vectorial. Atres ferramentes de la teoria de cossos, com la traça, la norma o el polinomi característic d'un element algebraic, poden definir-se a partir d'este endomorfisme i mantindre els mateixos vínculs en el polinomi mínim que els seus corresponents en àlgebra llineal.

Definicions

Ací K denota un cos i L una extensió de K, és dir, un cos que conté K.

Un element a algebraic de L en K és un element de L raïl d'un polinomi distint de zero en coeficients en K. Daus dos polinomis que tenen a com a raïl, el restant per divisió euclídea de cada u encara té a per raïl. En conseqüència, els polinomis de grau mínim que tenen per raïl a sò proporcionals entre sí, i tal polinomi dividix tots els polinomis que cancelen a.

Dit polinomi també és irreducible, perque si el producte de dos polinomis (en coeficients en un cos) s'anula en a, un dels dos desapareix (un cos és en particular íntegre). S'impon l'unicitat en elegir este polinomi unitari, és dir, s'establix la condició de que el coeficient del terme de major grau és igual a 1.

Per tant, es pot definir el polinomi mínim de a, element algebraic de L sobre K:

• El polinomi mínim de a en K és el polinomi unitat de menor grau en coeficients en K que admet a com raïl
• El polinomi mínim de a en K és també el polinomi unitari irreducible únic en coeficients en K que admet a com a raïl
• El polinomi mínim de a en K és també el polinomi unitari únic en coeficients en K que admet a com a raïl, i que dividix tots els polinomis que tenen el valor a com a raïl

En atres paraules, l'anell K[X] dels polinomis sobre K és un domini euclídeo, i per lo tant, es caracterisa com un domini principal. l'ideal dels polinomis que tenen com a raïl a és principal, i per lo tant:

• El polinomi mínim de a en K és el polinomi unitari únic que genera l'ideal dels polinomis de K[X] que es cancelen en a (és dir, dels que a és raïl).

Ya que a és un número algebraico, K(a), el subcuerpo més chicotet de L que conté K i a, és l'anell K[a], i és isomorfo al cos de ruptura K[X]/(P) del polinomi mínim P de a, és dir, l'estructura de K(a) està determinada pel polinomi mínim de a. El grau de a, que és el grau d'extensió K(a) de K, és també el grau del polinomi mínim de a.

Eixemples

Les lletres ℂ, ℝ i ℚ denoten respectivament els cossos dels números complexos, reals i racionals.

• Qualsevol element k del subcuerpo K és algebraic sobre K, en polinomi mínim (X - k)
• Qualsevol número complejo no real a + i b (en a i b reals i b distint de zero) és algebraic sobre ℝ, en polinomi mínim X² - 2a X + a² + b²
• l'unitat imaginària i té el mateix polinomi mínim sobre ℝ i ℚ, a saber, X ² + 1
• La raïl quadrada de dos, Plantilla:Raïl, és un número algebraico en un polinomi mínim X² - 2 sobre ℚ (diferent del seu polinomi mínim sobre ℝ, que és X - Plantilla:Raïl)
• L'número algebraico Plantilla:Raïl + Plantilla:Raïl té un polinomi mínim (en ℚ) X⁴ - 10X² + 1 =(X - Plantilla:Raïl - Plantilla:Raïl) (X - Plantilla:Raïl + Plantilla:Raïl) (X + Plantilla:Raïl + Plantilla:Raïl) (X + Plantilla:Raïl - Plantilla:Raïl)

(la minimalidad resulta del fet de que el producte de dos dels seus factors no pertanyen a ℚ[X], sent les raïls del polinomi opostes dos a dos)

• Número trascendente (no algebraics), com π (segons el teorema de Lindemann), per lo tant, no tenen un polinomi mínim sobre ℚ.
• Si el polinomi unitari P és irreducible en K, és el polinomi mínim de l'element del seu cos de ruptura K[X]/(P) que és la classe de X mòdul P.
• Per eixemple, 𝔽₂ és el cos finito de 2 elements, el polinomi X² + X + 1 de 𝔽₂[X] és irreducible; observant en 𝔽₄ el seu cos de ruptura (un cos finito en 4 elements) i j la classe de mòdul X d'este polinomi, llavors X² + X + 1 és el polinomi mínim de j, i també de j + 1
• El n-ésimo polinomi ciclotòmic Φ_n és unitari i irreducible en ℚ[X]: és el polinomi mínim en ℚ de cada una de les seues raïls, les raïls primitives n-ésimas de l'unitat i^2ikπ/n, en k primer sobre n
• Un número entero algebraic és per definició un número algebraico el polinomi mínim del qual té coeficients sancers

Teoria de cossos

Propietats elementals

Artícul principal → Extensió algebraica.

Ací K és un cos, L una extensió de K i m un element de L.

En l'artícul cos de ruptura, partint de que l'anell K[X] és euclídeo i per lo tant principal, es demostra que:

• Siga P un polinomi irreducible i unitari de K [X], llavors existix una extensió de K, de grau igual al grau de P, que conté un element del com P és el polinomi mínim.

Les següents propietats es demostren en l'artícul principal:

• Si m és algebraic sobre K i si el seu polinomi mínim és de grau n, llavors qualsevol extensió que continga a m és de grau infinit o múltiple de n i la menor és de grau n.
  Esta propietat permet per eixemple demostrar que la trisecció de l'àngul o la duplicació de la gaveta és en general impossible en la regla i el compàs (vore l'artícul torre d'extensions quadràtiques).
• Si m és algebraic sobre una extensió finita de K, llavors m és algebraic sobre K.

• Si m₁ i m₂ són algebraics sobre K, llavors m₁ m₂ i m₁ + m₂ ho són també, i m₁^–1 també ho és si m₁ és distint de zero.

Extensió separable

Artícul principal → Extensió separable.

Es diu que un element algebraic sobre K és separable (sobre K) si totes les raïls del seu polinomi mínim sobre K, en una extensió a on este polinomi és dividit, són simples.

Es diu que una extensió algebraica de K és separable si tots els seus elements ho són. Est és sempre el cas si K és un cos perfecte, com per eixemple si K és finito o de característica zero.

Segons establix el teorema de l'element primitiu, les extensions separables tenen propietats importants, com:

• Qualsevol extensió finita separable és simple, és dir, conté un element que genera l'extensió, o novament, el polinomi mínim de la qual és de grau igual al grau d'extensió.