Torre d'extensions quadràtiques

En matemàtiques i més particularment en àlgebra, dins del marc de la teoria de cossos, una torre d'extensions quadràtiques és una successió finita K₀,…, K_n de cossos, cada u dels quals és una extensió quadràtica de l'anterior. El cos K_n és llavors una extensió finita de grau 2ⁿ de K₀. Si ademés la característica d'estos cossos no és 2, llavors estes extensions són separables.

La noció està naturalment lligada a la de regla i compàs: la construcció del polígon regular de 17 costats (descoberta per Carl Friedrich Gauss en 1796) pot analisar-se en térmens d'una série d'extensions quadràtiques; el teorema de Wantzel (Wantzel 1837) permet caracterisar els número construibles en la regla i el compàs en térmens de torres d'extensió quadràtica. Esta teorema va permetre tancar algunes grans qüestions obertes de la matemàtica grega, com la duplicació de la gaveta i la trisecció de l'àngul. L'estudi d'estes extensions permet, gràcies a la teoria de Galois, una demostració del teorema de Gauss-Wantzel, que dona la llista de polígons regulars construibles en regla i compàs.

Molts autors utilisen la noció directament, sense atribuir-li un nom en particular, i parlen, en ocasions, simplement de "una série d'extensions quadràtiques".

Eixemples

• Qualsevol extensió quadràtica és una torre (en un sol element) d'extensions quadràtiques, pero la noció de torre no és realment rellevant en este cas: el concepte d'extensió quadràtica és suficient.
• Siga a un número entero, n un sancer natural, p = 2ⁿ i r una raïl p-ésima de a. Llavors, ℚ(r) és l'últim cos d'una torre d'extensions quadràtiques en ℚ de llongitut menor o igual a n. De fet, si s'escriu r_n = r i, per a k de n a 1, r_k–1 = rk², llavors ℚ(rk) és una extensió del grau 1 o 2 de ℚ(r_k–1) i ℚ(r₀) = ℚ(a) = ℚ. Per un atre costat, l'extensió ℚ(r) de ℚ no és normal en general: per eixemple, per a n = 2 i a = 2, dos dels quatre conjugats sobre ℚ de la quarta raïl de 2 no són reals, i no obstant, l'extensió ℚ($\sqrt[4]{2}$) és real.
• Siga n un número entero que la seua funció φ de Euler és una potència de 2; llavors el cos ciclotòmic d'una raïl primitiva de l'unitat d'orde n es descompon en torres d'extensions quadràtiques. Este resultat es demostra en l'artícul teorema de Gauss-Wantzel per als casos n = 5 i n = 17. S'establix en caràcter general en l'epígraf següent.

Propietats de Galois

Quan una extensió L/K consta dels dos extrems d'una torre d'extensions quadràtiques, el seu grau és, per construcció, una potència de 2. La condició recíproca és verdadera si l'extensió és galoisiana:

Tota extensió de Galois el grau de la qual és una potència de 2 és una torre d'extensions quadràtiques

No obstant, una extensió algebraica L/K és galoisiana si i solament si és normal (a diferència, per eixemple, de ℚ($\sqrt[4]{2}$)/ℚ) i separable (és dir, els polinomis mínims en L dels elements de K no tenen raïls múltiples) i esta segona condició és fàcil de satisfer:

Sobre un cos de característica diferent de 2, qualsevol extensió de grau igual a una potència de 2 és separable.

Bibliografia

• (1989) Théorie dones corps - La règle et li compas. ISBN 978-2-7056-1449-2.
• Lang, Serge (3ª edició (2002)). Springer Verlag (ed.). Algebra (en en), pp. 914. ISBN 978-0-38795385-4.
• (1967) Hermann (ed.). Théorie algébrique dones noms, Pariu. ISBN 2-7056-5589-1.