Teorema de Gauss-Wantzel

Archiu:Regular Polygons Catalog.gif

Els n-gonos regulars construibles per a n ≤ 51

Vore també: Teorema de Gauss i Teorema de Wantzel

En geometria, la teorema de Gauss-Wantzel establix un equivalència llògica per a determinar si un polígon regular és construible en regla i compàs.

Declaracions

Un polígon en n costats és construible si i solament si n és el producte d'una potència de 2 (que pot ser 2⁰ = 1) i d'un conjunt (que pugues no tindre elements) de distints número primo de Fermat.

(es diu que un número primo és de Fermat si té la forma 2^(2k)+1 per a un determinat sancer k).

Esta teorema es deduïx del:

Teorema de Wantzel: Un número complejo és construible si i solament si pertany a una torre d'extensions quadràtiques.

Història

Gauss havia establit esta condició necessària i suficient en el capítul VII de la seua obra Disquisitiones arithmeticae (publicada en 1801), pero solament havia demostrat una implicació:

Si un polígon regular té n costats i si n és una potència de 2 o és el producte d'una potència de 2 i k número primo de Fermat diferents, llavors este polígon és construible. No obstant, no va demostrar la justificació llògica d'este resultat.

Pierre Wantzel ho demostraria en 1837 gràcies a la seua teorema i a la condició necessària que va deduir per a que un número siga construible.