Polinomi ciclotòmic

En matemàtiques i, més concretament, en àlgebra conmutativa, el polinomi ciclotòmic associat al sancer natural n, denotat com Φ_n, és el polinomi unitari les raïls del qual són totes les raïls n-ésimas primitives de l'unitat, és dir, els número complejo que verifiquen zⁿ = 1, pero que no verifiquen $z^{m} = 1$ per a cap $m < n$ . Concretament, estes raïls són els números $e^{\frac{2 π i k}{n}}$ a on $k$ i $n$ són coprimos.

Se solen prendre les raïls en el cos dels complexos, (atres extensions del cos dels reals també serien possibles), pero carix de conseqüència sobre els polinomis ciclotòmics, els coeficients dels quals es pot demostrar que són sempre sancers. El grau de Φ_n ve dau per $φ (n)$ , a on $φ$ la funció φ de Euler (la cantitat de números menors que i coprimos en $n$ ), i és llògicament inferior o igual a n.

Com ya s'ha dit, les raïls primitives són de la forma ω^r, en 0 &li; r < n, r coprimo en n, i

ω = e^{\frac{2 π i}{n}}

. Llavors, simbòlicament podem escriure

$Φ_{n} (X) = \prod_{\begin{matrix} 0 \leq r < n \\ mcd (r, n) = 1 \end{matrix}} (X - ω^{r})$

Història

Orige del concepte

Archiu:Disqvisitiones-800.jpg

El tractat d'anàlisis dels polinomis ciclotòmics

Carl Friedrich Gauss, en els seus Disquisitiones Arithmeticae, publicat en 1801, utilisa els polinomis ciclotòmics. En ells fa una important contribució a un problema obert des de l'antiguetat: la construcció en regla i compàs de polígons regulars. Estos treballs servixen de referència a lo llarc de tot el sigle. Concretament, Gauss elabora una llista dels polígons construibles, junt en un método eficaç per a construir-los per a polígons de fins a 256 costats. Este problema rebria una resposta final per Pierre-Laurent Wantzel (1814 - 1848) en un artícul^[1] (vore teorema de Wantzel).

Este enfocament és innovador i, en molts aspectes, prefigura l'àlgebra moderna: un polinomi ya no apareix com un objecte en sí mateixa, sino com a part d'un conjunt estructurat. Encara que encara no es formalisa el concepte del anell de polinomis, sí que es descobrix el seu estructura euclidiana i és la ferramenta bàsica per a l'anàlisis de Gauss.

Per a resoldre de forma efectiva l'equació ciclotòmica, Gauss considera una estructura finita: les permutació de les raïls. Hui en dia li les coneix com periodos de Gauss. Gauss usa les seues propietats algebraiques per a trobar la solució. Este enfocament preveu l'us de la teoria de grups en l'àlgebra i la teoria de Galois.

A continuació es definixen noves estructures. La divisió euclidiana introduïx la noció de restant, i el conjunt de tots ells té moltes propietats algebraiques. Tal estructura ara es consideraria un cas particular de cos finito si el divisor és un número primo. Gauss destaca tals conjunts i utilisa, alvançant-se al seu temps, el transport d'estructura per morfismo entre dos anells per a demostrar l'irreductibilidad de polinomis ciclotòmics. En este mateix llibre, Gauss utilisa les estructures ya introduïdes per a resoldre un atre problema ya abordat per Fermat (1601 - 1685) i formalisat per Euler (1707 - 1783): la llei de reciprocitat quadràtica.

A partir d'eixe moment, es van trobant moltes més aplicacions de tota la teoria construïda. L'utilisació en la geometria no es llimita a la construcció en la regla i el compàs. El polinomi ciclotòmic d'índex quatre permet la construcció d'un nou conjunt de número algebraico: els sancers de Gauss. En açò sorgix una nova branca de les matemàtiques: la teoria d'número algebraico, que simplifica la resolució d'equacions diofánticas i permet resoldre noves equacions.

Polinomis ciclotòmics i equacions algebraiques

Archiu:Evariste galois.jpg

Évariste Galois

La busca de solucions de l'equació polinòmica és un problema que es remonta als primers desenrolls en teoria polinomis portats a terme pels matemàtics àraps. Encara que en general se cita a Al-Juarismi (783-850) com a precursor per la resolució de sis equacions canòniques, a Girolamo Cardano (1501-1576) per la resolució de l'equació polinòmica de grau tres i a Ludovico Ferrari (1522-1565) per a les de quarto, el cas general va continuar sent durant molt temps un misteri.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) va afirmar que la resolució d'este problema general estava íntimament relacionada en les propietats de les permutació de raïls. El cas especial dels polinomis ciclotòmics ho ilustra. El grup de permutació bones, ara cridat grup de Galois, no només és conmutativo sino que ademés és cíclico. Esta propietat, utilisada junt en els periodos de Gauss, permet resoldre este cas particular de forma eficaç.

Un anàlisis més profunt abordat posteriorment per Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Henrik Abel (1802-1829) i sobretot per Evariste Galois (1811-1832) mostra que l'aspecte conmutativo del grup és ya, de fet, condició suficient. Per a ser precisos, la condició és que el grup puga descompondre's en una successió de grups conmutativos encaixats. La pregunta natural que sorgix és determinar qué extensions del cos dels número racional tenen un grup de Galois conmutativo. Estes extensions es diuen extensions abelianas. L'estructura del cos associada en un polinomi ciclotòmic, cridada extensió ciclotòmica, és un eixemple d'açò. La seua unicitat significaria que tota equació algebraica resoluble per radicals es reduiria d'una manera o una atra a un polinomi ciclotòmic. La resposta és positiva: tota extensió abeliana del cos dels racionals és un subcuerpo d'una extensió ciclotòmica. La demostració d'este resultat va necessitar casi mig sigle d'esforç per a terminar de ser demostrada. Els principals contribuents en dita demostració varen ser Leopold Kronecker (1823-1891) i Heinrich Weber (1842-1913).

Encara que l'anàlisis de les extensions abelianas finitas acaba en el XIX, es deixa oberta un ampli palmito de preguntes, per eixemple en aritmètica. Sembla necessari generalisar la noció de cos ciclotòmic a extensions infinites. La qüestió la va plantejar David Hilbert (1862-1943).^[2] Esta llínea d'investigació es denomina teoria de cossos de classes. La teoria corresponent és un dels camps de la matemàtica més exitosos durant el XX. Es pot citar per eixemple la llei de reciprocitat^[3] d'Emil Artin (1898-1962), que resuelvió el nové dels problemes de Hilbert, o més recentment, dos laureados en la medalla Fields pels seus treballs sobre generalisacions de la teoria: Vladimir Drinfeld en 1990 o Laurent Lafforgue en 2002.

Propietats

El grau del n-ésimo polinomi ciclotòmic ve dau per la funció φ de Euler: $φ (m) = # {n \in ℕ | n \leq m \land m c d (m, n) = 1}$ . En particular, sempre serà menor o igual a n.

$\forall n \geq 1$ , el polinomi ciclotòmic $Φ_{n} (X)$ és de coeficients sancers, és dir, $Φ_{n} (X) \in ℤ [X]$ .

$\forall n \geq 1$ , el polinomi ciclotòmic $Φ_{n} (X) \in ℤ [X]$ , és irreducible en $ℤ [X]$ i en $ℚ [X]$ .

$\forall p > 1,$ p primer, $\forall n \in ℕ$ tal que p no dividix n, i $\forall r \geq 1$ , es té: $Φ_{n p^{r}} (X) = Φ_{n p} (X^{p^{r - 1}}) .$

$\forall n \geq 3,$ n impar, es té: $Φ_{2 n} (X) = Φ_{n} (- X) .$

$\forall p$ cosí i $\forall n \in ℕ$ tal que p no dividix n, es té: $Φ_{n p} (X) = \frac{Φ_{n} (X^{p})}{Φ_{n} (X)} .$

Notes

↑ Pierre-Laurent Wantzel, Recherches sur els moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut es résoudre avec la règle et li compas, 1837
↑ David Hilbert, La théorie dones corps de noms algébriques, 1897.
↑ Emil Artin, Beweis dones allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, 1927

Vore també

Cos ciclotòmic

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomio ciclotómico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Pierre-Laurent Wantzel, Recherches sur els moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut es résoudre avec la règle et li compas, 1837

[2] David Hilbert, La théorie dones corps de noms algébriques, 1897.

[3] Emil Artin, Beweis dones allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, 1927

[1]

[2]

[3]