Método neusis

Construcció neusis

Neusis és un método de construcció geomètrica, en el que s'ampra una regla en la que es marca una distància que deu encaixar-se entre dos curves, i que ademés deu passar per un punt donat. Va ser utilisat en l'antiguetat per matemàtics grecs, encara que estava considerat un recurs atípic que solament es devia amprar per a abordar determinats problemes la resolució dels quals no semblava possible usant exclusivament regla i compàs (en els que no s'admet valdre's d'una regla en una marca de distància).

Construcció geomètrica

La construcció neusis (del grec νεῦσις de νεύειν neuein "direcció d'inclinament"; plural: νεύσεις neuseis) consistix en ajustar la posició d'un segment rectilíneo de llongitut prefixada (denominada diastema, de la paraula grega "διάστημα", que significa "distància") entre dos curves donades (denominades curva directriu i curva d'ajust), de manera que el segment o la seua extensió, pansa a través d'un punt donat denominat pol. Dit d'una atra forma, la posició buscada deu complir tres condicions: un dels extrems del segment té que situar-se sobre la curva directriu; l'atre extrem té que situar-se sobre la curva d'ajust; i el segment o la seua prolongació deu passar pel pol.

Una construcció neusis es deu realisar per mig de l'us de la 'regla neusis': una regla que pot fer rotacions al voltant del pol (lo que es pot realisar posant una chincheta en el pol i despuix pressionant la regla contra la chincheta). En la figura, una de les terminacions de la regla està marcada en un círcul groc, el centre del qual coincidix en l'orige de la divisió de l'escala de la regla. Una segona marca en la regla (el círcul blau) indica la distància donada, denominada diastema. La marca groga es mou a lo llarc de la curva directriu, fins que la marca blava coincidix en la curva d'ajust. La posició del segment trobat d'esta forma es mostra en la figura en el punt remarcat en blau i el punt remarcat en roig.

Trisecció neusis d'un àngul >135° per a trobar φ=θ/3, utilisant solament la llongitut de la regla. El radi de l'arc és igual a la llongitut de la regla. Per a ànguls θ<135° s'aplica la mateixa construcció, pero en P estés més allà de AB

Usos de la neusis

La neusis ha segut important perque a voltes proveïx una forma de resoldre problemes geomètrics que no es poden solucionar a través de construccions en regla i compàs únicament. Eixemples són la trisecció de qualsevol àngul en tres parts iguals, o la construcció d'un heptàgon regular. Matemàtics tals com Arquímedes de Siracusa (287–212 a. C.) utilisaven neuseis lliurement, i sigles despuix Isaac Newton continuava amprant este procediment. No obstant, la tècnica va caure en desús gradualment.

Se sap que un n-ágono regular és construible per mig de neusis per a n=

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30 , 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68 , 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111 , 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, ... Plantilla:OEIS.

Benjamin i Snyder varen descobrir en 2014 que l'endecágono regular és neusis-construible.

Vore també

• Trisecció de l'àngul
• Duplicació de la gaveta
• Quadratura del círcul

Bibliografia

• R. Boeker, 'Neusis', in: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa ret. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. La revisió més comprensiva; no obstant, l'autor té opinions curioses a voltes.
• T. L. Heath, A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
• H. G. Zeuthen, Die Lehre von donen Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).