Teorema de Morley

Archiu:Morley triangle.png

Teorema de Morley

Archiu:Morley triangle.svg

En geometria plana, la teorema de Morley establix que, en un triàngul qualsevol, els tres punts d'intersecció entre trisectrices d'ànguls adjacents formen un triàngul equilátero, denominat triàngul de Morley. La teorema va ser descoberta en 1889 pel matemàtic angloestadounidense Frank Morley. Té vàries generalisacions, en particular, si es intersecan totes les trisectrices, s'obtenen atres quatre triànguls equiláteros.

cal notar que, com no es pot trisecar un àngul només en regla i compàs, no es pot construir el triàngul de Morley en dites llimitacions. Ademés, la teorema de Morley no es complix en les geometria esfèrica i hiperbòlica

Història i demostracions

La teorema va ser descoberta en 1899 per Frank Morley, qui ho va mencionar als seus amics sense aplegar a demostrar-ho, és dir, ho va deixar com conjectura. Ells, a la seua volta, ho varen difondre a modo de curiositat matemàtica. Finalment, despuix de dèu anys, es varen publicar dos demostracions, una trigonométrica de M. Satyanarayana i una atra de geometria elemental de M. T. Naraniengar. Esta última seria redescubierta en 1922 per J. M. Child.

Actualment existixen moltes demostracions matemàtiques de la teorema de Morley, algunes de les quals són molt tècniques Entre les demostracions existents es troba la demostració geomètrica de Raoul Bricard en 1922., la demostració algebraica d'Alain Connes i la demostració geomètrica de John Conway. Esta última demostració escomença en un triàngul equilátero i mostra que es pot construir entorn a ell un triàngul semblant a qualsevol triàngul donat.

Triànguls de Morley

La teorema de Morley comporta un total de 18 triànguls equiláteros. El triàngul anteriorment descrit en la formulació de la teorema, denominat primer triàngul de Morley, té els seus tres vèrtiços en les següents coordenades trilineales respecte del triàngul original ABC:

Vèrtiç A = 1 : 2 cos(C/3) : 2 cos(B/3)

Vèrtiç B = 2 cos(C/3) : 1 : 2 cos(A/3)

Vèrtiç C = 2 cos(B/3) : 2 cos(A/3) : 1

Un atre dels triànguls de Morley que també és triàngul central es denomina segon triàngul de Morley i ve dau pels següents vèrtiços:

Vèrtiç A = 1 : 2 cos(C/3 − 2π/3) : 2 cos(B/3 − 2π/3)

Vèrtiç B = 2 cos(C/3 − 2π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 2π/3)

Vèrtiç C = 2 cos(B/3 − 2π/3) : 2 cos(A/3 − 2π/3) : 1

El tercer dels 18 triànguls equiláteros de Morley que també és central es denomina tercer triàngul de Morley, i ve dau pels següents vèrtiços:

Vèrtiç A = 1 : 2 cos(C/3 − 4π/3) : 2 cos(B/3 − 4π/3)

Vèrtiç B = 2 cos(C/3 − 4π/3) : 1 : 2 cos(A/3 − 4π/3)

Vèrtiç C = 2 cos(B/3 − 4π/3) : 2 cos(A/3 − 4π/3) : 1

Els triànguls primer, segon i tercer de Morley són homotéticos dos a dos. Un atre triàngul homotético està format pels tres punts X en el circuncírculo del triàngul ABC en el que la recta XX ⁻¹ és tangente al cicuncírculo, a on X ⁻¹ denota el conjugat isogonal de X. Este triàngul equilátero, denominat triàngul circuntangencial, té els següents vèrtiços:

Vèrtiç A = csc(C/3 − B/3) : csc(B/3 + 2C/3) : −csc(C/3 + 2B/3)

Vèrtiç B = −csc(A/3 + 2C/3) : csc(A/3 − C/3) : csc(C/3 + 2A/3)

Vèrtiç C = csc(A/3 + 2B/3) : −csc(B/3 + 2A/3) : csc(B/3 − A/3)

Un quint triàngul, també homotético als demés, s'obté al rotar el triàngul circuntangencial π/6 sobre el seu centre. Este triàngul, el triàngul circunnormal, té els següents vèrtiços:

Vèrtiç A = sec(C/3 − B/3) : −sec(B/3 + 2C/3) : −sec(C/3 + 2B/3)

Vèrtiç B = −sec(A/3 + 2C/3) : sec(A/3 − C/3) : −sec(C/3 + 2A/3)

Vèrtiç C = −sec(A/3 + 2B/3) : −sec(B/3 + 2A/3) : sec(B/3 − A/3)

Notes i referències

• C. O. Oakley i J. C. Baker, "The Morley trisector theorem," American Mathematical Monthly 85 (1978) 737-745.
• F. Glanville Taylor i W. L. Marr, "The six trisectors of each of the angles of a triangle," Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 33 (1913-14) 119-131.