Coordenades trilineales

En geometria, les coordenades trilineales x:i:z d'un punt respecte a un triàngul s'especifiquen per mig dels seus distàncies a les rectes que contenen els segments que formen els costats del triàngul. Les coordenades trilineales són un eixemple de coordenades homogénees. A sovint són designades simplement com "trilineales".

La relació x:i és la proporció entre les distàncies perpendiculars des d'un punt als costats (estesos si és necessari) oposts als vèrtiços A i B respectivament; la relació i:z és la proporció de les distàncies perpendiculars del punt a les llínees opostes als vèrtiços B i C respectivament; i aixina mateix per a z:x i els vèrtiços C i A.

En el diagrama a la dreta, les coordenades trilineales del punt interior indicat són les distàncies reals ( a' , b' , c' ), o les equivalents en forma de cocient, ka' : kb' : kc' per a qualsevol constant positiva k. Si un punt està en un lateral del triàngul de referència, la seua corresponent coordenada trilineal és 0. Si un punt exterior està en el costat opost d'una llínea lateral respecte a l'interior del triàngul, la seua coordenada trilineal associada en eixe marge és negativa. És impossible que les tres coordenades trilineales siguen negatives simultàneament.

Notació

La notació relativa trilineal x: i: z és diferent de la notació triple ( a ' , b' , c' ) per a distàncies reals orientades. Ací, cada u dels valores x, i, i z no té cap significat per sí mateixa; pero la seua relació en cada u dels atres sí té significat. Per lo tant, deu evitar-se la "notació en menges" per a les coordenades trilineales, perque la notació (x, i, z), referida a una terna ordenada de senyes, no permet per eixemple fer que (x, i, z) = (2x, 2i, 2z), mentres que la "notació de punts" sí permet expressions com a x: i: z = 2x: 2i: 2z.

Eixemples

Les coordenades trilineales del incentro d'un triàngul ABC són 1: 1: 1; és dir, les distàncies (dirigides) des de l'incentro a les llínees laterals BC, CA, AB són proporcionals a les distàncies reals, denotades per (r, r, r), a on r és el radi de la circumferència inscrita al triàngul ABC. Donades les llongituts dels costats a, b, c, es té que:

• A = 1 : 0 : 0
• B = 0 : 1 : 0
• C = 0 : 0 : 1
• Incentro = 1: 1: 1
• Centroide = bc: ca: ab = 1 /a: 1/b: 1/c = csc A: csc B: csc C
• Circumcentre = cos A: cos B: cos C
• Ortocentre = sec A: sec B: sec C
• Centre de nou punts = cos (B − C): cos (C − A): cos (A − B)
• Punt simediano = a: b: c = sen A: sen B: sen C
• A-excèntric = −1: 1: 1
• B-excèntric = 1: −1: 1
• C-excèntric = 1: 1: −1

Deu tindre's en conte que en general, en un triàngul qualsevol el incentro no coincidix en el centroide; que les seues coordenades baricéntricas són 1: 1: 1 (lo que significa que són iguals les àrees dels triànguls BGC, CGA i AGB, a on G = centroide).

Per eixemple, el punt mig del costat BC, té coordenades trilineales sobre les llongituts reals dels costats (a, b i c) $(0,\frac{\Delta }{b},\frac{\Delta }{c})$, sent $\Delta$ l'àrea del triàngul, que en forma de distàncies relatives se simplifica prenent la forma $0:ca:ab$.

L'altura del peu de la perpendicular des del punt A a BC és $(0,\frac{2\Delta }{a}\cos C,\frac{2\Delta }{a}\cos B),$ que en distàncies relatives se simplifica a $0:\cos C:\cos B.$

Vore també

• Teorema de Morley
• Diagrama ternario