Constants de Stieltjes

En matemàtiques, les constants de Stieltjes ${\gamma }_k$ són els coeficients de l'expansió en série de Laurent de la funció zeta de Riemann:

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(s-1{)}^n$

Les constants de Stieltjes es definixen pel següent llímit

${\gamma }_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\left(\sum _{k=1}^m\frac{{\ln }^{n}k}{k}\right)-\frac{{\ln }^{n+1}m}{n+1}]$

(En el cas n = 0, el primer sumant requerix l'evaluació de 0⁰, que es pren com 1.)

La fòrmula integral de Cauchy nos dona la següent representació integral:

${\gamma }_n=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-nix}\zeta (e^{ix}+1)dx.$

Per al cas n = 0, es recupera la constant de Euler-Mascheroni ${\gamma }_0=\gamma =\mathrm{0.577...}$.

Una aproximació de les primeres constants ve donada per la següent taula:

n	Valores aproximats de γn
0	0.5772156649015328606065120900824024310421
1	-0.072815845483676724860586
2	-0.0096903631928723184845303
3	0.002053834420303345866160
4	0.0023253700654673000574
5	0.0007933238173010627017
6	-0.00023876934543019960986
7	-0.0005272895670577510
8	-0.00035212335380
9	-0.0000343947744
10	0.000205332814909

Constants de Stieltjes generalisades

Més generalment, es pot definir les constants de Stieltjes ${\gamma }_k(q)$ associades a les expansions en série de Laurent de la funció zeta de Hurwitz:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(q)(s-1{)}^n$

A on q és un número complejo en Re(q)>0. Com la funció zeta de Hurwitz és un generalisació de la funció zeta de Riemann, tenim que:

${\gamma }_n(1)={\gamma }_n$

Vore també

• Constant de Euler-Mascheroni
• Funció zeta de Riemann
• Série de Laurent