Conjunt infinit-Dedekind

En matemàtiques, un conjunt A és infinit-Dedekind (cridat aixina pel matemàtic alemà Richard Dedekind) si algun subconjunt propi B de A és equipotente a A. Explícitament, açò significa que existix una funció biyectiva de A en algun subconjunt propi B de A. Un conjunt és finito-Dedekind si no és Dedekind-infinit. Proposta per Dedekind en 1888, la infinitud-Dedekind va ser la primera definició de "infinit" que no es recolzava en la definició de número natural.

Fins que la crisis fundacional de les matemàtiques va mostrar la necessitat d'un tractament més cuidadós de la teoria de conjunts, molts matemàtics assumien que un conjunt és infinit si i solament si és infinit-Dedekind. A principis del sigle vint, la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel, hui en dia la forma més comunament utilisada de teoria axiomàtica de conjunts, es va propondre com un sistema axiomàtic per a formular una teoria de conjunts lliure de paradoxes com la paradoxa de Russell. Usant la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel en l'originalment molt controvertit axioma d'elecció inclós, es pot provar que un conjunt és finito-Dedekind si i solament si és finito en el sentit de tindre un número finito d'elements. No obstant, existix un model de teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel sense axioma d'elecció en el que existix un conjunt infinit i finito-Dedekind, mostrant que els axioma d'este últim no són lo prou forts per a provar que tot conjunt que és finito-Dedekind té un número finito d'elements. Existixen definicions de finitud i infinitud de conjunts més allà de la donada per Dedekind que no depenen de l'axioma d'elecció..

Una noció vagament relacionada és la d'anell finito-Dedekind. Es diu que un anell és un anell finito-Dedekind si ab = 1 implica ba = 1 per a qualssevol dos elements de l'anell a i b. Estos anells també es coneixen com a anells directament finitos.

Comparació en la definició usual de conjunt infinit

Esta definició de conjunt infinit es pot comparar en la definició ordinària: un conjunt A és infinit quan no té una biyección en un ordinal finito, és dir, un conjunt de la forma  {0, 1, 2, ..., n−1}Plantilla:Null per a algun número natural n – un conjunt infinit és aquell que és lliteralment no finito, en el sentit de biyección.

Durant la segona mitat de el XIX, molts matemàtics simplement assumien que un conjunt és infinit si i solament si és Dedekind-infinit. No obstant, esta equivalència no es pot provar en els axioma de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel sense l'axioma d'elecció. No es necessita tota la força de l'implicació de l'axioma d'elecció per a provar l'equivalència; de fet, l'equivalència entre les dos definicions és estrictament més dèbil que l'axioma d'elecció numerable.

Conjunts infinit-Dedekind en ZF

Les següents condicions són equivalents en la teoria de Zermelo-Fraenkel. En particular, note's que estes condicione es poden provar equivalents sense usar l'axioma d'elecció.

• A és infinit-Dedekind.
• Existix una funció f : A → A que és inyectiva pero no suprayectiva.
• Existix una funció inyectiva f : N → A, a on N denota el conjunt dels número natural.
• A té un subconjunt infinit numerable.

Tot conjunt infinit-Dedekind A també satisfà la següent condició:

• Existix una funció f : A → A que és suprayectiva pero no inyectiva.

Que en ocasions s'enuncia com "A és dualmente infinit-Dedekind". No es pot provar (en ZF sense axioma d'elecció) que la infinitud-Dedekind dual implique que A siga infinit-Dedekind. (Per eixemple, si B és un conjunt infinit pero Dedekind-finito, i A és el conjunt de les successions inyectivas de B, llavors "llevar l'últim element" és una funció suprayectiva pero no inyectiva de A en A, encara que A és finito-Dedekind.)

Es pot provar en ZF que tot conjunt dualmente infinit-Dedekind satisfà les següents condicions equivalents:

• Existix una aplicació suprayectiva de A en un conjunt infinit numerable.
• El conjunt potencia de A és infinit-Dedekind.

(Els conjunts que satisfan estes propietats es denominen a voltes débilmente infinits-Dedekind.)

Es pot provar en ZF que els conjunts débilmente infinits-Dedekind són infinits.

També en ZF es pot provar que tot conjunt infinit ben ordenat és infinit-Dedekind.

Bibliografia

• Faith, Carl Clifton. Mathematical surveys and monographs. Volume 65. American Mathematical Society. 2nd ed. AMS Bookstore, 2004. ISBN 0-8218-3672-2
• Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice, Springer-Verlag, 1982 (out-of-print), ISBN 0-387-90670-3, in particular pp. 22-30 and tables 1 and 2 on p. 322-323
• Jech, Thomas J., The Axiom of Choice, Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8
• Lam, Tsit-Yuen. A first course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts in mathematics. 2nd ed. Springer, 2001. ISBN 0-387-95183-0
• Herrlich, Horst, Axiom of Choice, Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition: 1617-9692, in particular Section 4.1.