Notació de Leibniz

dy

dx

dPlantilla:Tamany²i

dx²

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filòsof i matemàtic alemà, que dona nom a una notació matemàtica àmpliament utilisada en càlcul

En càlcul, la notació de Leibniz —cridada aixina en honor de Gottfried Wilhelm Leibniz, filòsof i matemàtic alemà de el XVII—, utilisa els símbols dx i dy per a representar increments infinitament menuts (o infinitesimals) de x i i, respectivament, de la mateixa manera que Δx i Δi representen increments finitos de x i i, respectivament.

Història

El método de Newton-Leibniz de càlcul infinitesimal es va introduir en la segona mitat de el XVII. Mentres que Newton no tenia una notació estàndar per a l'integració, Leibniz va començar a usar el caràcter $\int$. Es va basar en el caràcter de la paraula llatina summa ('suma'), que va escriure ſumma en l'allargada llavors comunament utilisat en Alemània en el moment. Este us va aparéixer per primera volta públicament en el seu artícul De Geometria, publicat en Acta Eruditorum de juny de 1686, pero que havia estat utilisant en manuscrits privats per lo manco des de 1675.

Els matemàtics anglesos varen amprar la notació de punts de Newton fins a 1803 quan Robert Woodhouse va publicar una descripció de la notació continental. Més vesprada, la Societat Analítica de l'Universitat de Cambridge va promoure l'adopció de la notació de Leibniz.

Definició de la notació

La notació de Leibniz tradicional $y=f(x)$ és utilisada per a indicar que la variable independent és $x$ i la variable depenent és $y$, per lo tant existixen atres notacions comunes per a la derivada:

$f^{\prime }(x)=y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_{x}f(x)$

• a on les notacions $D$ i $\frac{dy}{dx}$ són operadors de derivació perque indiquen l'operació de derivació.
• La notació $\frac{dy}{dx}$ introduïda per Leibniz és solament un sinònim de $y=f^{\prime }(x)$. No obstant, és una notació útil quan s'usa en la notació d'increments. En base en l'equació raó (instantànea) de canvi de $y$ sobre $x$ on:

$x=x_1,\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_2\to x_1}{\lim }\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

en escriure de nou la definició de derivada en la notació de Leibniz en la forma:

$\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Per lo tant, en esta notació es representa l'operació de diferenciar. Donada una funció f de x:

$y=y(x)$

per mig de l'operador derivada de la funció:

$y^{\prime }=\frac{d}{dx}y(x)$

es representaria d'esta manera

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$

com un cocient de diferencials, idea probadamente errònea en el conjunt dels número real, no aixina en el conjunt dels números hiperreales. L'utilitat d'esta notació consistix que permet recordar intuitivamente varis conceptes bàsics del càlcul tals com la regla de la cadena. Donades les funcions:

$y=y(x)$

$x=x(t)$

que en esta notació sembla òbvia per la cancelació de diferencials (a pesar de que este raonament és incorrecte baix l'enfocament de l'anàlisis clàssic, mentres que és vàlit baix l'enfocament l'anàlisis no estàndar^{cita requerida})

$\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}$

o be el concepte de separació de variables en la resolució d'equacions diferencials:

$\frac{dN}{dt}=kN⟶\frac{dN}{N}=kdt$

Vore també

• Notació de Newton