Llímit (successió de conjunts)

En teoria de conjunts, es definix llímit d'una successió de conjunts $(A_{n})_{n}$ al conjunt que inclou elements de cada u dels subconjunts $A_{n}$ components de la successió. És d'utilitat en teoria de la mida, especialment en espais de provabilitat.^[1]^[2]

Definició per a successions monòtones

Siga $(A_{n})_{n}$ una successió de conjunts, es diu que dita successió és monòtona creixent, i s'indica com $A_{n} ↑$ , si para tot n, pertanyent al conjunt dels número natural, es té que $A_{n} \subseteq A_{n + 1}$ .^[3]

De la mateixa manera, la successió de conjunts és monónota decreixent i s'indica com $A_{n} ↓$ , si para tot n, pertanyent al conjunt dels número natural, es té que $A_{n} \supseteq A_{n + 1}$ .^[3]

Fent us d'operadors de conjunts (unió, intersecció), en una successió monòtona creixent en un número fixat n es té que:

$⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{n}$

El llímit d'esta successió creixent es definix de manera natural com:^[2]

$\lim_{n \to \infty} A_{n} = \lim_{n \to \infty} ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}$

és dir, com l'unió dels infinits conjunts A_n de la successió. Una definició similar se seguix per a una successió monòtona decreixent. Fixat un n es té que:

$⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{n}$

I per tant, el llímit d'esta successió decreixent es definix com:^[2]

$\lim_{n \to \infty} A_{n} = \lim_{n \to \infty} ⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = ⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}$

açò és, com l'intersecció dels conjunts A_n de la successió.

Quan es complixen estes condicions, es diu que la successió de conjunts té llímit o que és convergent.^[3]

Definició general

De manera més general i donada qualsevol successió de conjunts, poden definir-se els llímits inferior i superior construint dos successions monòtones creixent i decreixent respectivament:^[1]

De les definicions anteriors es pot obtindre la relació:

$\underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}$

En el cas de que abdós llímits coincidixquen, es pren este conjunt comú com el llímit de la successió A_n:

$\lim_{n \to \infty} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} A_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} A_{n}$

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Quesada Paloma; García Pérez, {{{nom2}}} (1998). «Successions de conjunts», Lliçons de càlcul de provabilitats, 1ª edició (en castellà), Madrit: Edicions Díaz de Sants, pp. 6-11. ISBN 8486251842.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Bărboianu, Cătălin; Martilotti, {{{nom2}}} (2008). «Successions de conjunts», Entenent les provabilitats i calculant-les, 1ª edició (en castellà), INFAROM Publishing, pp. 130-131. ISBN 9731991069.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Navarro Camacho; Gómez Gómez, {{{nom2}}}; García Gómez, {{{nom3}}}; Pina Coronat, Emilio M. (2003). «Successions de conjunts», Matematicas. Professors d'Ensenyança Secundària. Volum III, 1ª edició (en castellà), Sevilla: MAD, pp. 262-263. ISBN 8466518991.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Límite (sucesión de conjuntos)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Lliçons-1] 1,0 ^1,1 Quesada Paloma; García Pérez, {{{nom2}}} (1998). «Successions de conjunts», Lliçons de càlcul de provabilitats, 1ª edició (en castellà), Madrit: Edicions Díaz de Sants, pp. 6-11. ISBN 8486251842.

[Entenent-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Bărboianu, Cătălin; Martilotti, {{{nom2}}} (2008). «Successions de conjunts», Entenent les provabilitats i calculant-les, 1ª edició (en castellà), INFAROM Publishing, pp. 130-131. ISBN 9731991069.

[Professors-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Navarro Camacho; Gómez Gómez, {{{nom2}}}; García Gómez, {{{nom3}}}; Pina Coronat, Emilio M. (2003). «Successions de conjunts», Matematicas. Professors d'Ensenyança Secundària. Volum III, 1ª edició (en castellà), Sevilla: MAD, pp. 262-263. ISBN 8466518991.

[1]

[2]

[3]