Valor p-ádico

Erro al crear miniatura:

Distribució dels número natural per la seua valoració 2-ádica, rotulats en les corresponents potències de dos en numeració decimal. El zero té una valoració infinita. Representats per mig d'una incrustación topològica no isomètrica de parells de sancers en el pla complex

En teoria de números, el valor $p$ -ádico (també conegut com a valoració $p$ -ádica o orde $p$ -ádico) d'un número entero $n$ és l'exponent de la potència més alta del número primo $p$ ya que dividix a $n$ .

Es denota com $ν_{p} (n)$ . De manera equivalent, $ν_{p} (n)$ és l'exponent en el que apareix $p$ en la descomposició en factors primers de $n$ .

El valor $p$ -ádico és una valoració i dona lloc a un anàlec del valor absolut habitual. Mentres que l'espai mètric complet dels número racional respecte al valor absolut habitual dona com resultat els número real $ℝ$ , en completar els número racional respecte al valor absolut $p$ -ádico s'obtenen com resultat els números $p$ -ádicos $ℚ_{p}$ .

Definició i propietats

Siga $p$ un número primo.

Sancers

La valoració $p$ -ádica d'un sancer $n$ es definix com

ν_{p} (n) = {\begin{matrix} m a x {k \in ℕ : p^{k} ∣ n} & si n \neq 0 \\ \infty & si n = 0, \end{matrix}

a on $ℕ$ denota el conjunt dels número natural i $m ∣ n$ denota la divisibilidad de $n$ per $m$ . En particular, $ν_{p}$ és una funció $ν_{p} : ℤ \to ℕ \cup {\infty}$ .^[1]

Per eixemple, $ν_{2} (- 12) = 2$ , $ν_{3} (- 12) = 1$ i $ν_{5} (- 12) = 0$ ya que $| - 12 | = 12 = 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{0}$ .

La notació $p^{k} ∥ n$ a voltes s'usa per a referir-se a $k = ν_{p} (n)$ .^[2]

Si $n$ és un sancer positiu, llavors

ν_{p} (n) \leq \log_{p} n

;

açò se seguix directament de que $n \geq p^{ν_{p} (n)}$ .

Número racional

La valoració $p$ -ádica es pot estendre als número racional com la funció

ν_{p} : ℚ \to ℤ \cup {\infty}

^[3]^[4]

definida per

ν_{p} (\frac{r}{s}) = ν_{p} (r) - ν_{p} (s) .

Per eixemple, $ν_{2} (\frac{9}{8}) = - 3$ i $ν_{3} (\frac{9}{8}) = 2$ ya que $\frac{9}{8} = 2^{- 3} \cdot 3^{2}$ .

Algunes de les seues propietats són:

ν_{p} (r \cdot s) = ν_{p} (r) + ν_{p} (s)

ν_{p} (r + s) \geq \min {ν_{p} (r), ν_{p} (s)}

Ademés, si $ν_{p} (r) \neq ν_{p} (s)$ , llavors

ν_{p} (r + s) = \min {ν_{p} (r), ν_{p} (s)}

a on $\min$ és el mínim (és dir, el menor dels dos).

Valor $p$ -ádico absolut

Plantilla:Anchor

El valor absolut $p$ -ádico sobre els número racional $ℚ$ és la funció

| \cdot |_{p} : ℚ \to ℝ_{\geq 0}

definida per

| r |_{p} = p^{- ν_{p} (r)} .

Per lo tant, $| 0 |_{p} = p^{- \infty} = 0$ per a tots els $p$ i, per eixemple, $| - 12 |_{2} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ i $| \frac{9}{8} |_{2} = 2^{- (- 3)} = 8.$

El valor absolut $p$ -ádico satisfà les següents propietats:

No negatiu	$\| r \|_{p} \geq 0$
Definit positiu	$\| r \|_{p} = 0 ⟺ r = 0$
Multiplicativo	$\| r s \|_{p} = \| r \|_{p} \| s \|_{p}$
No arquimediano	$\| r + s \|_{p} \leq \max (\| r \|_{p}, \| s \|_{p})$

De la multiplicatividad $| r s |_{p} = | r |_{p} | s |_{p}$ es deduïx que $| 1 |_{p} = 1 = | - 1 |_{p}$ per a les raïls de l'unitat $1$ i $- 1$ , i en conseqüència, també que $| - r |_{p} = | r |_{p} .$ La subaditividad $| r + s |_{p} \leq | r |_{p} + | s |_{p}$ es deriva de la desigualtat triangular no arquimediana $| r + s |_{p} \leq \max (| r |_{p}, | s |_{p})$ .

L'elecció de la base $p$ en la potenciació $p^{- ν_{p} (r)}$ no fa cap diferència per a la majoria de les propietats, pero respala la fòrmula del producte:

\prod_{0, p} | r |_{p} = 1

a on el producte es pren entre tots els número primo $p$ i el valor absolut habitual, denotat com $| r |_{0}$ . Açò es deriva simplement de prendre la factorización en número primo: cada factor de potència primer $p^{k}$ contribuïx en el seu recíproc al seu valor absolut $p$ -ádico, i després el valor absolut habitual arquimediano els cancela a tots.

El valor absolut $p$ -ádico a voltes es denomina "norma $p$ -ádica", encara que en realitat no és una norma pròpiament dita perque no complix en el requisit d'homogeneïtat.

Es pot formar un espai mètric en el conjunt $ℚ$ en una mètrica (no arquimediana i invariante respecte a les translacions):

d : ℚ \times ℚ \to ℝ_{\geq 0}

definit per

d (r, s) = | r - s |_{p} .

L'operació de completar $ℚ$ sobre esta mètrica conduïx al conjunt $ℚ_{p}$ dels números $p$ -ádicos.

Vore també

Referències

↑ A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York: Springer-Verlag, p. 3. ISBN 978-0387973296.
↑ An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edició, John Wiley & Sons, p. 4. ISBN 0-471-62546-9.
↑ En la relació d'orde usual, a saber
$\infty > n$ ,
i regles per a operacions aritmètiques,
$\infty + n = n + \infty = \infty$ ,
en la recta numèrica estesa
↑ $p$ -adic Deterministic and Random Dynamics, Kluwer Academic Publishers, p. 9. ISBN 978-1402026591.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Valor p-ádico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York: Springer-Verlag, p. 3. ISBN 978-0387973296.

[2] An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edició, John Wiley & Sons, p. 4. ISBN 0-471-62546-9.

[infty-3] En la relació d'orde usual, a saber
$\infty > n$ ,
i regles per a operacions aritmètiques,
$\infty + n = n + \infty = \infty$ ,
en la recta numèrica estesa

[4] $p$ -adic Deterministic and Random Dynamics, Kluwer Academic Publishers, p. 9. ISBN 978-1402026591.

[1]

[2]

[3]

[4]

Definició i propietats

Sancers

Número racional

Valor p-ádico absolut

Vore també

Referències

Referències

Valor $p$ -ádico absolut