Funció definida positiva

En matemàtiques, es diu que una funció és definida positiva quan es tracta d'una aplicació bimodal relacionada be en una correspondència entre els número real i els complexos a través d'una matriu semidefinida positiva, o be d'una funció de variable real en una característica local vinculada a les seues condicions de diferenciabilidad.

Us més comú

Una funció definida positiva d'una variable real x és una funció complexa en valor $f:ℝ\to ℂ$ tal que per a qualsevol número real x₁, …, x_n la matriu de orde n  × n

$A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j=1}^n,a_{ij}=f(x_i-x_j)$

és una semidefinida positiva (lo que requerix que A siga hermítica; i per lo tant, f(−x) és el conjugat de f(x)).

En particular, és necessari (pero no suficient) que:

$f(0)\ge 0,|f(x)|\le f(0)$

(estes desigualtats es deduïxen de la condició per a n = 1, 2).

Una funció és semidefinida negativa si s'invertix la desigualtat. Una funció és definida si la desigualtat dèbil es reemplaça per una desigualtat forta (<, > 0).

Eixemples

Si $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ és un espai prehilbertiano real, llavors $g_y:X\to ℂ$, $x\mapsto \exp (i⟨y,x⟩)$ és definida positiva para tot $y\in X$: per a tot $u\in {ℂ}^n$ i tot $x_1,\dots ,x_n$ es té que

$u^{*}{A}^{(g_y)}u=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_j{e}^{i⟨y,x_k-x_j⟩}=\sum _{k=1}^n\overline{u_k}{e}^{i⟨y,x_k⟩}\sum _{j=1}^n{u}_j{e}^{-i⟨y,x_j⟩}={\left|\sum _{j=1}^n\overline{u_j}{e}^{i⟨y,x_j⟩}\right|}^2\ge 0.$

Com les combinacions llineals no negatives de funcions definides positives són novament definides positives, la funció coseno és definida positiva com una combinació llineal no negativa de les funcions anteriors:

$\cos (x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})=\frac{1}{2}(g_1+g_{-1}).$

Es pot crear una funció definida positiva $f:X\to ℂ$ fàcilment a partir d'una funció definida positiva $f:ℝ\to ℂ$ per a qualsevol espai vectorial $X$: elegixca's una funció llineal $\varphi :X\to ℝ$ i definixca's $f^{*}:=f\circ \varphi$. Llavors

$u^{*}{A}^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_j{f}^{*}(x_k-x_j)=\sum _{j,k=1}^n\overline{u_k}{u}_{j}f(\varphi (x_k)-\varphi (x_j))=u^{*}{\tilde{A}}^{(f)}u\ge 0,$

a on ${\tilde{A}}^{(f)}=(f(\varphi (x_i)-\varphi (x_j))=f({\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j){)}_{i,j}$ a on ${\tilde{x}}_k:=\varphi (x_k)$ són distints, ya que $\varphi$ és llineal.

Teorema de Bochner

Artícul principal → Teorema de Bochner.

La definició positiva sorgix naturalment en la teoria de la transformada de Fourier; es pot vore directament que per a que una funció siga definida positiva és suficient que f siga la transformada de Fourier d'una funció g en la recta real en g(i) ≥ 0.

El resultat invers és el teorema de Bochner, indicant que qualsevol funció definida positiva contínua en la recta real és la transformada de Fourier d'una medida (positiva).

Aplicacions

En estadística, i especialment en estadística bayesiana, la teorema se sol aplicar a funcions reals. Per lo general, es prenen n medides escalares d'algun valor en punts de $R^d$ i es requerix que els punts que estan prop entre sí tinguen medides altament correlacionadas. En la pràctica, es deu anar en conte d'assegurar-se de que la matriu d'covarianza resultant (una matriu n × n) siga sempre definida positiva. Una estratègia és definir una matriu de correlació A que després es multiplica per un escalar per a donar una matriu d'covarianza, que deu ser definida positiva. La teorema de Bochner establix que si la correlació entre dos punts depén únicament de la distància entre ells (a través de la funció f), llavors la funció f deu ser definida positiva per a garantisar que la matriu d'covarianza A és definida positiva (vore krigeaje).

En este context, la terminologia de Fourier normalment no s'usa i en el seu lloc s'establix que f(x) és la Funció característica d'una Funció de densitat de provabilitat simètrica.

Generalisació

Artícul principal → Funció definida positiva en un grup.

Es poden definir funcions definides positives en qualsevol dualitat de Pontriaguin, ya que la teorema de Bochner s'estén a este context. Les funcions definides positives en grups apareixen naturalment en la teoria de representació de grups en espais de Hilbert (és dir, la teoria de la representació unitària).

Definició alternativa

La següent definició entra en conflicte en l'anterior.

En sistemes dinàmics, una funció real f en valor contínuament diferenciable pot cridar-se definida positiva en un entorn D de l'orige si $f(0)=0$ i $f(x)>0$ para tot $x\in D$ no nul. En física, el requisit de que $f(0)=0$ pot eliminar-se (vore, per eixemple, Corney i Olsen).

Vore també

• Núcleu definit positiu

Bibliografia

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitisable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.