Núcleu definit positiu

En teoria d'operadors, una branca de les matemàtiques, un núcleu definit positiu és una generalisació del concepte de funció definida positiva o de matriu definida positiva. Va ser introduït per primera volta per James Mercer a principis de el XX, en el context de la resolució d'equacions en integrals. Des de llavors, les funcions definides positives i els seus diversos anàlecs i generalisacions han sorgit en diverses parts de les matemàtiques. Apareixen naturalment en l'anàlisis de Fourier, en la teoria de la provabilitat, en la teoria d'operadors, en la teoria de funcions complexes, en problemes de moments, en equacions integrals, problemes de condicions de contorn para equacions en derivades parcials, en aprenentage automàtic, en problemes de embebido, en teoria de l'informació i en atres àrees.

Este artícul discutix alguns dels desenrolls històrics i actuals de la teoria dels núcleus definits positius, començant en l'idea general i les propietats abans de considerar les seues aplicacions pràctiques.

Definició

Siga $𝒳$ un conjunt no buit, a voltes denominat conjunt índex. Una funció simètrica $K:𝒳\times 𝒳\to ℝ$ es denomina núcleu definit positiu (d.p.) en $𝒳$ si Plantilla:NumBlk es complix per a qualsevol $x_1,\dots ,x_n\in 𝒳$, dau $n\in \mathbb{N},c_1,\dots ,c_n\in ℝ$.

En la teoria de la provabilitat, a voltes es fa una distinció entre núcleus definits positius, per als quals l'igualtat en (1.1) implica $c_i=0(\mathrm{\forall }i)$, i núcleus semidefinidos positius (s.d.p.), que no imponen esta condició. Tinga's en conte que açò és equivalent a exigir que qualsevol matriu finita construïda per mig d'evaluació per parells, ${𝐊}_{ij}=K(x_i,x_j)$, tinga autovalores completament positius (d.p.) o no negatius (s.d.p.).

En la lliteratura matemàtica, els núcleus solen ser funcions de valors complexos, pero en el present artícul figuren funcions de valors reals, que és la pràctica comuna en les aplicacions de núcleus d.p.

Algunes propietats generals

• Per a una família de núcleus d.p. $(K_i{)}_{i\in \mathbb{N}},K_i:𝒳\times 𝒳\to ℝ$
  • La suma cònica $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{K}_i$ és d.p., dau ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$
  • El producte $K_1^{a_1}\dots K_n^{a_n}$ és d.p., dau $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{N}$
  • El llímit $K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_n$ és d.p. si el llímit existix.
• Si $({𝒳}_i{)}_{i=1}^n$ és una seqüència de conjunts i $(K_i{)}_{i=1}^n,K_i:{𝒳}_i\times {𝒳}_i\to ℝ$ és una seqüència de núcleus d.p., llavors tant

$$K((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\prod _{i=1}^n{K}_i(x_i,y_i)$$

com

$$K((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\sum _{i=1}^n{K}_i(x_i,y_i)$$ són núcleus d.p. en $𝒳={𝒳}_1\times \dots \times {𝒳}_n$.

• Siga ${𝒳}_0\subset 𝒳$. Llavors la restricció $K_0$ de $K$ a ${𝒳}_0\times {𝒳}_0$ també és un núcleu d.p.

Eixemples de núcleus definits positius

• Eixemples comuns de núcleus d.p. definits en l'espai euclídeo ${ℝ}^d$ inclouen:
  • Núcleu llineal: $K(𝐱,𝐲)={𝐱}^T𝐲,𝐱,𝐲\in {ℝ}^d$.
  • Núcleu polinòmic: $K(𝐱,𝐲)=({𝐱}^T𝐲+r{)}^n,𝐱,𝐲\in {ℝ}^d,r\ge 0,n\ge 1$.
  • Núcleu gaussiano (funció núcleu de base radial): $K(𝐱,𝐲)=e^{-\frac{\Vert 𝐱-𝐲{\Vert }^2}{2{\sigma }^2}},𝐱,𝐲\in {ℝ}^d,\sigma >0$.
  • Núcleu laplaciano: $K(𝐱,𝐲)=e^{-\alpha \Vert 𝐱-𝐲\Vert },𝐱,𝐲\in {ℝ}^d,\alpha >0$.
  • Núcleu d'Abel: $K(x,y)=e^{-\alpha |x-y|},x,y\in ℝ,\alpha >0$.
  • Núcleu que genera espais de Sóbolev $W_2^k({ℝ}^d)$: $K(x,y)=\Vert x-y{\Vert }_2^{k-\frac{d}{2}}{B}_{k-\frac{d}{2}}(\Vert x-y{\Vert }_2)$, a on $B_{\nu }$ és la funció de Bessel de tercera espècie.
  • Núcleu que genera l'espai de Paley-Wiener: $K(x,y)=\text{sinc}(\alpha (x-y)),x,y\in ℝ,\alpha >0$.
• Si $H$ és un espai de Hilbert, llavors el seu producte intern corresponent $(\cdot ,\cdot {)}_H:H\times H\to ℝ$ és un núcleu d.p. De fet, es té que $$\sum _{i,j=1}^n{c}_i{c}_j(x_i,x_j{)}_H={(\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i,\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j)}_H={\Vert \sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i\Vert }_H^2\ge 0$$

• Núcleus definits en ${ℝ}_{+}^d$ i histograma: els histograma es troben en freqüència en aplicacions de problemes de la vida real. La majoria de les observacions solen estar disponibles en forma de vectores de conteo no negatius que, si es normalisen, produïxen histograma de freqüències. S'ha demostrat que la següent família de mètriques al quadrat, respectivament la divergència de Jensen, el quadrat $\chi$, la variació total i dos variacions de la distància de Hellinger: $${\psi }_{JD}=H\left(\frac{\theta +{\theta }^{\prime }}{2}\right)-\frac{H(\theta )+H({\theta }^{\prime })}{2},$$$${\psi }_{{\chi }^2}=\sum _i\frac{({\theta }_i-{{\theta }_i}^{\prime }{)}^2}{{\theta }_i+{{\theta }_i}^{\prime }},{\psi }_{TV}=\sum _i|{\theta }_i-{{\theta }_i}^{\prime }|,$$$${\psi }_{H_1}=\sum _i|\sqrt{{\theta }_i}-\sqrt{{{\theta }_i}^{\prime }}|,{\psi }_{H_2}=\sum _i{|\sqrt{{\theta }_i}-\sqrt{{{\theta }_i}^{\prime }}|}^2,$$ es poden utilisar per a definir núcleus d.p. utilisant la següent fòrmula $$K(\theta ,{\theta }^{\prime })=e^{-\alpha \psi (\theta ,{\theta }^{\prime })},\alpha >0.$$

Història

Els núcleus definits positius, com es definixen en (1.1), varen aparéixer per primera volta en 1909 en un artícul sobre equacions integrals de James Mercer. Varis atres autors varen fer us d'este concepte en les següents dos décades, pero cap d'ells va usar explícitament núcleus $K(x,y)=f(x-y)$, és dir, funciones d.p. (de fet, M. Mathias i S. Bochner semblen no haver estat al tant d'estos estudis). El treball de Mercer va sorgir de l'artícul de Hilbert de 1904 sobre les equacions integrals de Fredholm del segon tipo:

Plantilla:NumBlk

En particular, Hilbert havia demostrat que:

Plantilla:NumBlk

a on $K$ és un núcleu simètric real continu, $x$ és continu, $\{{\psi }_n\}$ és un sistema complet d'orthonormal eigenfunctions i els ${\lambda }_n$ són els corresponents autovalores de (1.2). Hilbert va idear la definició d'un núcleu definit com un per al qual l'integral doble

$$J(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)x(s)x(t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t$$

satisfà que $J(x)>0$ llevat para $x(t)=0$. L'objecte original de l'artícul de Mercer era caracterisar els núcleus que són definits en el sentit de Hilbert, pero pronte va descobrir que la classe de tals funcions era massa restrictiva per a caracterisar-les en térmens de determinants. Per lo tant, va definir un núcleu simètric real continu $K(s,t)$ com de tipo positiu (és dir, definit positiu) si $J(x)\ge 0$ per a totes les funcions contínues reals $x$ sobre $[a,b]$, i va demostrar que (1.1) és una condició necessària i suficient per a que un núcleu siga de tipo positiu. Després va demostrar que per a qualsevol núcleu d.p. l'expansió

$$K(s,t)=\sum _n\frac{{\psi }_n(s){\psi }_n(t)}{{\lambda }_n}$$

es manté absoluta i uniformement.

Aproximadament al mateix temps, W. H. Young, motivat per una pregunta diferent en la teoria d'equacions integrals, va demostrar que per a núcleus continus la condició (1.1) és equivalent a $J(x)\ge 0$ para tot $x\in L^1[a,b]$.

E.H. Moore va iniciar l'estudi d'un tipo molt general de núcleu d.p. Si $E$ és un conjunt abstracte, flama a les funcions $K(x,y)$ definides en $E\times E$ matrius hermíticas positives si complixen (1.1) para tot $x_i\in E$. Moore estava interessat en la generalisació d'equacions integrals i va demostrar que per a cada $K$ existix un espai de Hilbert $H$ de funcions tals que, per a cada $f\in H,f(y)=(f,K(\cdot ,y){)}_H$. Esta propietat es denomina propietat de reproducció del núcleu i resulta ser important en la solució de problemes de valors de frontera per a equacions diferencials parcials elíptiques.

Una atra llínea de desenroll en la que els núcleus d.p. varen jugar un paper important va ser la teoria dels harmònics en espais homogéneus, iniciada per E. Cartan en 1929, i continuada per H. Weyl i S. Ito. La teoria més completa sobre núcleus d.p. en espais homogéneus és la de Mark Krein que inclou com a casos especials el treball sobre funciones d.p. i irreducibles representacions unitàries de grups localment compactes.

En la teoria de la provabilitat els núcleus d.p. sorgixen com a núcleus d'covarianza de processos estocàstics.

Vore també

• Funció covarianza
• Equació integral
• Transformada integral
• Funció definida positiva en un grup
• Reproducció de l'espai de Hilbert del núcleu
• Método del kernel