Conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer

La conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer és una conjectura matemàtica, enunciada en 1965 pels matemàtics anglesos Bryan Birch i Peter Swinnerton-Dyer.

És un d'els sèt problemes del mileni, la solució del qual premia l'Institut Clay de Matemàtiques en un milló de dólars.

Enunciat

La conjectura relaciona les senyes aritmètiques associades a una curva elíptica I sobre un cos numèric K en el comportament de la Funció L de Hasse-Weil L(I, s) de I en s = 1. Concretament, es conjectura que el ranc del grup abeliano I(Q) de punts de I és igual a l'orde del zero de L(I, s) en s = 1, i el primer coeficient distint de 0 en l'expansió de Taylor de L(I, s) en s = 1 és donat per un millor refinament de senyes aritmètiques lligades a I sobre Q. En particular, assegura que si L(I, 1) = 0, llavors el grup I(Q) és infinit, i recíprocamente, si L(I, 1) ≠ 0, llavors I(Q) és finito.

Història

A principis de la década de 1960, Peter Swinnerton-Dyer va usar la computadora EDSAC del laboratori d'informàtica de l'universitat de Cambridge per a calcular el número de punts mòdul p (denotat per N_p) per a un número llarc de primers p sobre curves elíptiques el ranc de les quals era conegut. D'eixos resultats numèrics Bryan Birch i Swinnerton-Dyer conjeturaron que N_p per a una curva I en ranc r obedia una llei asintòtica

Archiu:Caps block 1 data plot for elliptic curve 800h1.svg

Una representació gràfica de $\prod _{p\le X}\frac{N_p}{p}$ per a la curva i² = x³ − 5x quan X vària sobre els primers 100000 cosins. L'eix X és log(log(X)) i l'eix I està en una escala logarítmica, aixina, la conjectura prediu que les senyes podrien formar una llínea de pendent igual al ranc de la curva, que és 1 en este cas. Com a comparació, una llínea de pendent 1 ha segut dibuixada en roig sobre el gràfic.

$\prod _{p\le x}\frac{N_p}{p}\approx C\log (x{)}^r\text{ cuando }x\to \mathrm{\infty }$

a on C és una constant.

Inicialment, es va basar en algunes tendències tènues en algunes gràfiques traçades, la qual cosa va induir una mida d'escepticisme en J. W. S. Cassels (supervisor doctoral de Birch). Passat el temps, les evidències numèriques es varen apilar.

Açò, a la seua volta, va dur a fer una conjectura general sobre el comportament de la funció L d'una curva L( I ,s) en s = 1, és dir, que podria tindre un zero d'orde r en eixe punt. Esta conjectura es va fer en visió de futur en eixe moment, ya que la continuació analítica de L( I,s) es va establir només per a curves baix multiplicació complexa, les quals eren també la principal font d'eixemples numèrics. (Note's que el recíproc de la L-funció és des d'alguns punts de vista un objecte més natural d'estudi; en ocasions, açò significa que es podrien considerar els pols en lloc dels zeros)

La conjectura va ser ampliada posteriorment per a incloure la predicció precisa del coeficient de Taylor principal de la funció L en s = 1. Açò va ser conjeturado per mig de

$\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}=\frac{\mathrm{\#}\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{a}(E){\Omega }_E{R}_E\prod _{p|N}{c}_p}{(\mathrm{\#}{E}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}{)}^2}$

a on les cantitats del membre de la dreta són invariantes de la curva, estudiades per Cassels, Tate, Shafarevich i uns atres: este inclou l'orde del grup de torsió, l'orde del grup de Tate–Shafarevich, i les altures canòniques d'una base de punts racionals.