Teorema de Faltings

En geometria aritmètica, la conjectura de Mordell, realisada per Louis Mordell, afirma que una curva de genus major que 1 sobre el camp Q dels número racional té solament un número finito de punts racionals. En 1983 va ser demostrada per Gerd Faltings. Actualment es coneix com a teorema de Faltings. La conjectura es va generalisar més tarde reemplaçant Q per qualsevol cos d'número algebraico.

Antecedents

Siga C una curva algebraica no singular de genus g sobre Q. Llavors, el conjunt de punts racionals en C es pot determinar de la següent manera:

• Case g = 0: sense punts o en alguns en l'infinit; C es maneja com una secció cònica.
• Case g = 1: sense punts, o C és una curva elíptica i els seus punts racionals formen un grup abeliano finitamente generat (teorema de Mordell, després generalisat al teorema de Mordell-Weil). Ademés, el teorema de torsió de Mazur restringix l'estructura del subgrup de torsió.
• Case g> 1: segons la conjectura de Mordell, (convertida en la teorema de Faltings), C té solament un número finito de punts racionals.

Demostracions

Shafarevich (1963) va plantejar una conjectura de finitud que afirmava que solament hi ha un número finito de classes d'isomorfismes de varietats abelianas de dimensió fixa i grau de polarisació fix sobre un cos numèric fix en bona reducció fora d'un conjunt finito dau de llocs.Parshin (1968) va demostrar que la conjectura de Mordell es mantindria si la conjectura de finitud de Shafarevich fora certa usant el truc de Parshin.Faltings (1983) va provar la conjectura de finitud de Shafarevich utilisant una reducció coneguda a un cas de la conjectura de Tate, i una série de ferramentes de geometria algebraica, inclosa la teoria de models de Néron. L'idea principal de la prova de Faltings és la comparació de l'altura de Faltings i de l'altura de Naive a través de les varietats modular de Siegel.

Demostracions posteriors

l'aproximació diofántica va proporcionar una prova basada en Vojta (1991).Bombieri (1990) va donar una variant més elemental de la demostració de Vojta.

Bibliografia

• Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Chafa Cl. Sci. 17 (4): 615–640.
• “Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields” (1990). L'Enseignement Mathématique 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584.

• (1986) Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. → Conté una traducció a l'anglés de Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern” [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields] (de). Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. Bibcode: 1983InMat..73..349F.
• Faltings, Gerd (1984). “Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern” (de). Inventiones Mathematicae 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572.
• Faltings, Gerd (1991). “Diophantine approximation on abelian varieties”. Ann. of Math. 133 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319.
• “Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper” (1965). Publications Mathématiques de l'IHÉS 25 (25): 131–149. doi:10.1007/BF02684399. ISSN 1618-1913.
• (2000) Diophantine geometry (vol. 201), New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 0-387-98981-1. → Dona la prova de Vojta de la teorema de Faltings.
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine geometry, Springer Science+Business Mija, pp. 101–122. ISBN 3-540-61223-8.
• “Rational points on algebraic curves over function fields” (ru) (1963). Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 27: 1395–1440. ISSN 0373-2436. (Traducció: “Rational points on algebraic curves over function fields” (1966). American Mathematical Society Translations 59: 189–234. doi:10.1090/trans2/050/11. ISSN 0065-9290.)
• “On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees” (1922). Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192.

• «Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne» págs. 467–471. Nice: Gauthier-Villars (1970).
• «Mordell conjecture - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org.
• Parshin, A. N. (1968). “Algebraic curves over function fields I”. Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Math. 32 (5): 1191–1219. doi:10.1070/IM1968v002n05ABEH000723. Bibcode: 1968IzMat...2.1145P.
• Shafarevich, I. R. (1963). “Algebraic number fields”. Proceedings of the International Congress of Mathematicians: 163–176.
• Vojta, Paul (1991). “Siegel's theorem in the compact case”. Ann. of Math. 133 (3): 509–548. doi:10.2307/2944318.