Homeomorfisme local

En topología, un homeomorfisme local és una aplicació d'un espai topològic en un atre que respecta localment l'estructura topològica dels dos espais.

D'un modo més precís, direm que una aplicació contínua f : X → I és un homeomorfisme local si per a cada punt x de X existix un obert O, entorn de x, tal que f(O) siga un obert de I i f|_O : O → f(O), la restricció de f a O siga un homeomorfisme.

Alguns eixemples

• Tot homeomorfisme és, per supost, un homeomorfisme local. El recíproc no és cert, com a mostra este eixemple:

  f: R → S¹,   f(x) = exp(2πix)

  és un recobriment del círcul i homeomorfisme local, pero no homeomorfisme puix no és inyectivo.

• Si O és un obert de I equipat en la topología relativa, llavors l'aplicació inclusió i : O → I és un homeomorfisme local. La condició de ser obert és essencial ací, puix l'aplicació inclusió d'un subconjunt no obert mai constituïx un homeomorfisme local.

• Siga f : S¹ → S¹ l'aplicació que envol el círcul sobre sí mateixa n voltes, en n distint de zero. Serà un homeomorfisme local. És més, serà un homeomorfisme en els casos en que siga biyectiva (i.i. n = 1 o -1).

• En anàlisis complex es demostra que una funció holomorfa f és un homeomorfisme local precisament quan la derivada f '(z) és no nula para tot z del domini de f. Per eixemple, la funció

f: C^* → C^*,   f(z) = zⁿ

definida en l'obert C^* = C {0} és un homeomorfisme local per a tot n natural positiu.

• Tota aplicació recubridora és un homeomorfisme local. En canvi, un homeomorfisme local, encara que siga exhaustiu, pugues no ser una aplicació recubridora.

Propietats

• Tot homeomorfisme local és una aplicació contínua i oberta. Com a conseqüència, un homeomorfisme local biyectivo serà un homeomorfisme.

• La composició de dos homeomorfismes locals també ho és. Per lo tant, la restricció d'un homeomorfisme local a un obert del domini també ho és.

• Un homeomorfisme local preserva propietats topològiques locals:
  • X serà localment conexo si i solament si f(X) lo és.
  • X serà localment compacte si i solament si f(X) lo és.
  • X verificarà el primer axioma de numerabilidad si i solament si f(X) ho fa.

Vore també

• homeomorfisme
• difeomorfismo local
• espai recubridor

Referències

• Llig, John, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, New York, 2000, ISBN 0-387-98759-2