Difeomorfismo local

En matemàtiques, un difeomorfismo local és una aplicació diferenciable f : M → N entre varietats diferenciables tal que, per a cada punt p de M, existix un entorn obert O de p tal que f(O) és obert en N i f|_O : O → f(O) (restricció de f a O) és un difeomorfismo.

Característiques: tot difeomorfismo local és també un homeomorfisme local, després serà una aplicació oberta. Un difeomorfismo local i biyectivo serà un difeomorfismo.

D'acort en el teorema de la funció inversa, una aplicació diferenciable f : M → N és un difeomorfismo local si i només si l'aplicació tangente T_pf : T_pM → T_f(p)N és un isomorfisme llineal per a tot punt p de M. En particular, açò implica que M i N deuen tindre la mateixa dimensió.

No tot difeomorfismo local és un difeomorfismo (global). Baste com a eixemple l'aplicació F de R² en R² definida per

$F(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$

que el seu determinant jacobiano és no nul en tot punt. Per mig del teorema de la funció inversa es pot comprovar que F és un difeomorfismo local. Pero no és inyectiva, ya que F(x,i)=F(x,i+2kπ); per lo tant no és un difeomorfismo. Per una atra part, tampoc és sobreyectiva, ya que (0,0) no pertany a l'image de F.