Indistinguibilidad topològica

En topología, dos punts d'un espai topològic $X$ són topológicamente indistinguibles si tenen exactament els mateixos entorns. És dir, daus dos punts $x$ i $y$ de $X$, si $\xi (x)$ és el conjunt d'entorns de $x$ i $\xi (y)$ és el conjunt d'entorns de $y$, llavors $x$ i $y$ són "topológicamente indistinguibles" si i solament si $\xi (x)=\xi (y)$.

Intuitivament, es pot dir que dos punts són topológicamente indistinguibles si la topología no és capaç de discernir els punts.

Dos punts de $X$ són topológicamente distinguibles si no són topológicamente indistinguibles. Açò significa que existix algun entorn d'un dels punts que no conté a l'atre.

La indistinguibilidad topològica definix una relació d'equivalència en qualsevol espai topològic.

Propietats

Les següents condicions són equivalents:

• $x$ i $y$ són topológicamente indistinguibles

Tota base d'entorns de $x$ és una base d'entorns de $y$ i viceversa Per a tot obert $A$ es té $x,y\in A$ o be $x,y\notin A$ La clausura topològica de $x$ és igual a la de $y$: $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$

• $y\in \overline{\{x\}}$ i $x\in \overline{\{y\}}$
• $y$ pertany a l'intersecció de tots els entorns bàsics de $x$ i $x$ pertany a l'intersecció de tots els entorns bàsics de $y$
• $x$ pertany a tot obert i a tot tancat que conté a $y$

Eixemples

En la topología trivial, els punts distints són topológicamente indistinguibles. En els espais T₀, T₁, T₂, T₃ i T₄, els punts distints són distinguibles. En la topología discreta, els punts distints són topológicamente distinguibles. En la topología sobre el conjunt dels número entero, generada pels bàsics de tipo {2n-1, 2n} en "n" sancer, tot impar és topológicamente indistinguible del seu successor immediat, o lo que és equivalent: tot parell és indistinguible del seu antecessor immediat.

Vore també

• Espai de Kolmogórov
• Espai de Hausdorff
• Espai topològic