Independència (llògica matemàtica)

En llògica matemàtica, la noció de independència o indecidibilidad es referix a l'impossibilitat de demostrar o refutar un predicat a partir d'uns atres.

Una sentència σ es diu independent o indecidible en una teoria llògica T si T no demostra ni refuta σ; açò és, si no és possible provar σ partint de T, ni provar que σ és falsa.

Terminologia

L'adjectiu indecidible s'usa com a sinònim d'independent, per eixemple, «sentència indecidible en la teoria T». No obstant, indecidible també s'usa en l'àmbit de la teoria de la computabilidad en un atre significat. Un problema indecidible és un problema matemàtic de resposta «sí o no» que no pot resoldre's per mig d'un algoritme. Abdós conceptes són distints, pero poden aparéixer relacionats entre sí. Per eixemple, el problema de decisió consistent en determinar si una sentència és independent en una teoria T és a sovint indecidible.

També pot ocórrer que «independent en T» s'utilise tan sol en el sentit de «no demostrador en T», en lloc de «no demostrador ni refutable en T», i consistent s'utilise llavors en el sentit de «no refutable en T».

Eixemples d'independència

Moltes sentències interessants en teoria de conjunts axiomàtica són independents de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF). Els següents enunciats són independents de ZF (sempre que esta siga consistent): l'axioma d'elecció. La hipòtesis del continu, i la hipòtesis del continu generalisada. El teorema de incompletitud de Gödel establix l'existència de proposicions independents en qualsevol teoria que continga l'aritmètica de Peano, tals com:

• La sentencia de Gödel G.
• La sentència que afirma la consistència de la pròpia teoria.

Ademés es coneixen enunciats purament aritmètics, que no involucren directament conceptes llògics, independents de dits axioma:

• El teorema de Ramsey forta.
• El teorema de Goodstein.

Un atre eixemple molt conegut és el quint postulat de Euclides, que no pot ser demostrat a partir dels restants axioma de la geometria euclídea. Açò demostra la consistència de les geometria no euclídeas.

Referències

• .
• .