Equacions de Euler (sòlits)

En mecànica, les equacions de Euler descriuen el moviment d'un sòlit rígit en rotació en un sistema de referència solidari en el sòlit. Matemàticament tenen la forma:

$\begin{array}{ccc}{I}_1{\dot{\omega }}_1+(I_3-I_2){\omega }_2{\omega }_3& =& M_1\\ I_2{\dot{\omega }}_2+(I_1-I_3){\omega }_3{\omega }_1& =& M_2\\ I_3{\dot{\omega }}_3+(I_2-I_1){\omega }_1{\omega }_2& =& M_3\end{array}$

a on $M_k$ són les components vectorials del moment o moment dinàmic total aplicat, $I_k$ són els moments principals d'inèrcia i ${\omega }_k$ són les components del vector velocitat angular $𝝎$ segons els eixos principals d'inèrcia.

Motivació i derivació

En un sistema de referència inercial la derivada del moment angular és igual al moment dinàmic o moment de forces aplicat:

$\frac{d𝐋}{dt}\equiv \frac{d}{dt}(𝐈\cdot 𝝎)=𝐌$

A on $𝐈$ és el tensor de moments d'inèrcia. No obstant, encara que l'equació anterior és universalment vàlida, no resulta útil en la pràctica per a calcular el moviment posat que generalment, tant $𝐈$ com $𝝎$ varien en el temps.

No obstant, el problema anterior es resol si considerem un sistema de referència no-inercial solidari en el sòlit rígit en rotació, perque respecte a este sistema de referència el tensor de [moments de] inèrcia $𝐈$ és constant i només la velocitat angular $𝝎$ varia en el temps. De fet de tots els possibles sistemes d'este tipo prendrem per simplicitat i conveniència matemàtica un els eixos de la qual coincidixquen en les direccions principals d'inèrcia (que formen un triedro rectàngul). En estes condicions el vector moment angular pot escriure's com:

$𝐋\equiv L_1{𝐞}_1+L_2{𝐞}_2+L_3{𝐞}_3=I_1{\omega }_1{𝐞}_1+I_2{\omega }_2{𝐞}_2+I_3{\omega }_3{𝐞}_3$

O també

$𝐋\equiv \left(\begin{array}{ccc}{I}_1& 0& 0\\ 0& I_2& 0\\ 0& 0& I_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right)$

A on $I_k$ són els moments d'inèrcia principals, ${𝐞}_k$ són els vectores unitaris en la direcció dels eixos principals d'inèrcia i ${\omega }_k$ són les components de la velocitat angular expressades en la base formada pels vectores unitaris anteriors. En un sistema no-inercial giratori, la derivada temporal deu ser reemplaçada per una atra expressió que done conte també de les forces fictícies associades a la no-inercialidad del sistema:

${\left(\frac{d𝐋}{dt}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}+𝝎\times 𝐋=𝐌$

A on el subíndex $rot$ indica que una magnitut es computa en el sistema no-inercial rotatori. Substituyendo $L_k\equiv I_k{\omega }_k$, prenent el producte vectorial i usant el fet de que els moments principals d'inèrcia no varien en el temps, apleguem a les equacions de Euler:

$\begin{array}{ccc}{I}_1{\dot{\omega }}_1+(I_3-I_2){\omega }_2{\omega }_3& =& M_1\\ I_2{\dot{\omega }}_2+(I_1-I_3){\omega }_3{\omega }_1& =& M_2\\ I_3{\dot{\omega }}_3+(I_2-I_1){\omega }_1{\omega }_2& =& M_3\end{array}$

Rotació lliure en l'espai

Quan el moment dinàmic és nul tenim una solució de moviment lliure. En general la velocitat angular no coincidix en cap dels eixos principals d'inèrcia. Açò dona lloc a un moviment de precesión en el que l'eix de rotació es mou al voltant de la recta que coincidix en la direcció del moment angular i a un atre de nutación, en el que l'àngul entre l'eix de rotació i la direcció del moment angular oscila.

Es pot vore per qué succeïx, a partir de l'equació de moviment expressada en un sistema inercial quan el moment és zero:

ya que per a un sòlit giratori $𝐈(t)$ varia en el temps, l'única manera de que $𝐋$ siga constant és que $𝝎(t)$ també varie en el temps.

Vore també

• Moment d'inèrcia

• Ànguls de Euler

Referències

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7