Dinàmica del punt material

La dinàmica del punt material és una part de la mecànica newtoniana en la que els sistemes s'analisen com a sistemes de partícules puntuals i que s'eixercixen forces a distància instantànees.

Sistema d'una sola partícula

Si s'estudia el moviment d'una partícula material des d'un sistema de referència inercial, llavors l'equació de moviment bàsica és la segona llei de Newton:

A on r està representant la posició de la partícula, t és l'instant del temps en que es medix la posició i F la força. Si el sistema d'una partícula està totalment aïllada de qualsevol interacció en l'exterior, no existiran forces sobre la partícula i llavors la segona llei de Newton es reduïx a que:

$\frac{d^2𝐫(t)}{d{t}^2}=0\Rightarrow \frac{d𝐫(t)}{dt}={𝐯}_0\Rightarrow 𝐫(t)={𝐯}_{0}t+{𝐫}_0$

I per tant la partícula es mou a velocitat constant sobre una llínea recta, tal com expressa la primera llei de Newton o llei d'inèrcia. I aixina qualsevol magnitut física que, fixat un observador, depenga únicament de la velocitat es mantindrà constant a lo llarc del temps (per a una partícula aïllada això succeïx en l'energia, el moment llineal i el moment angular, entre atres).

Sistemes de partícules interactuantes

Artícul principal → Sistema de partícules (física).

Un sistema de partícules N puntuals és un sistema alguna cosa més interessant, a on la segona llei de Newton nos diu que la trayectòria de cada una de les partícules estarà governada per les equacions següents:

A on r_i(t) és la posició de la partícula i-ésima en l'instant de temps t, F_ji representa la força que eixercix la partícula j sobre la partícula i. Este sistema pot resultar difícil d'integrar per mig dels métodos més senzills de la mecànica clàssica. Encara que el caràcter determinista de la mecànica newtoniana queda assegurat pel fet de que:

1. fixades unes condicions inicials per a les posicions i les velocitats,
2. fixats certes condicions de regularitat sobre la forma funcional de les forces en funció de les posicions, i sempre

i # quan pugam assegurar que no es produïxen colisions triples existix solució única per a l'anterior sistema d'equacions.

Aun cuando no pugam integrar de manera senzilla el sistema d'equacions (1), que té en tres dimensions 6N graus de llibertat cinemàtics, podem trobar algunes integrals de moviment que reduïxen el problema.

Conservació de l'energia

Artícul principal → Conservació de l'energia.

Quan les forces que s'eixercixen les partícules són conservativas pot vore's que existixen funcions anomenades funcions de potencial V_ji tals que:

En eixe cas pot provar-se que a pesar de lo intricadas que puguen ser les trayectòries seguides per les partícules, existix una magnitut física cridada energia total, que es conserva a lo llarc del moviment. És dir, existix una funció escalar el valor de la qual es manté constant a lo llarc del temps per al sistema, esta energia total ve donada per:

Per a comprovar que esta magnitut permaneix constant en el temps basta derivar l'expressió (3) respecte al temps, i substituir dins de l'expressió obtinguda (2):

L'expressió anterior s'anula perque para tot i l'expressió entre paréntesis és idénticamente nula, tal com mostra l'equació del moviment (1).

Conservació del moment llineal

Artícul principal → moment llineal.

Una atra llei de conservació que es menciona habitualment en relació en els sistemes de partícules és la llei de conservació del moment llineal o cantitat de moviment. En certs sistemes resulta que la magnitut vectorial obtinguda com sumixca de moments llineals:

(4) $P({𝐫}_i,{\dot{𝐫}}_i)=\sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{𝐫}}_i$

Permaneix constant a lo llarc del temps. Per a que eixa magnitut es conserve es requerix una condició sobre les forces. Esta condició és el principi d'acció-reacció forta que per a un sistema de partícules implica:

${𝐅}_{ji}=-{𝐅}_{ij}$

En sistemes de partícules carregades que interactuen entre sí per mig de camps magnètics, el moment llineal total de les partícules definit per (4) no complix en general l'anterior condició per lo que el moment llineal associat a les partícules no es conserva. No obstant, si es considera el moment llineal que deu assignar-se al camp electromagnètic llavors pot escriure's una llei de conservació del moment per al sistema format pel camp i les partícules (no obstant, este moment total no vindria dau per (4)).

Casos particulars

• El problema dels dos cossos consistix en plantejar un problema de tipo (1) en N = 2 és sempre resoluble ya que existixen tantes integrals de moviment com a equacions.

• El problema dels tres cossos és similar a l'anterior pero no pot construir-se una solució a partir d'integrals primeres, Poincaré va provar una teorema que establix només existixen 10 integrals de moviment algebraiques en les coordenades i moments conjugats, lo que impossibilita una solució pels mijos usats per al problema dels dos cossos. No obstant, en 1912 Karl Fritiof Sundman va trobar una solució al problema dels tres cossos en forma de série en potències de $t^{\frac{1}{3}}$ que convergia llentament per a tot t i sempre i quan el moment angular total no fora zero. No obstant, esta solució convergix molt llentament i no resulta d'un gran interés pràctic.

• Un gas tancat en una caixa és un atre interessant problema de partícules que pot ser analisat per la mecànica clàssica. Sabem que si tots els chocs contra les parets i entre partícules són perfectament elàstics i el conjunt de punts de la superfície de la caixa que no presenta curvatura té mida de Lebesgue nula llavors el sistema és ergòdic.