Cinemàtica del sòlit rígit

La cinemàtica del sòlit rígit és una aplicació de la cinemàtica al moviment d'un objecte tridimensional rígit en l'espai. El moviment més general del sòlit rígit pot considerar-se com la superposició de dos tipos de moviment bàsics: de translació i de rotació.

Introducció

Concepte de sòlit rígit

Figura 1. Concepte de sòlit rígit.

Entenem per sòlit rígit una idealisació matemàtica d'un sistema físic en la que la distància entre dos punts materials qualssevol d'elles permaneix invariable en el transcurs del temps. Els cossos sòlits reals de fet són realment deformables, en major o menor grau, quan estan somesos a les accions de les forces; no obstant, si estes són suficientment menudes, les deformacions produïdes són despreciables i, llavors, és útil l'abstracció de considerar-los com a cossos rígits o indeformables. La definició de sòlit rígit és solament conceptual, por cuanto que el sòlit rígit, en tot rigor, no existix. En este sentit, el sòlit rígit és solament una idealisació i extrapolació del sòlit real, de la mateixa manera que ho és la partícula o punt material.

Considerem un sòlit rígit i un sistema de coordenades, xyz, com es mostra en la Figura 1. Indicarem per r_i i r_j els vectores de posició de dos punts, P_i i P_j, del sòlit; la condició geomètrica de rigidea s'expressa per

que és equivalent a $|{𝐫}_i-{𝐫}_j|=\text{cte.}$, ya que la raïl quadrada d'una constant és una atra constant.

La posició del sòlit sobre el sistema d'eixos coordenats queda perfectament determinada si coneixem la posició de tres qualssevol dels seus punts, no alineats, com els punts 1, 2 i 3 que s'indiquen en la Figura 1. Per a especificar la posició de cada u d'ells es necessiten tres paràmetros o coordenades; de modo que en total necessitem, aparentment, nou paràmetros o coordenades per a especificar la posició del sòlit en l'espai. Els tres punts que hem pres com a referència estan lligats per les condicions de rigidea expressades per [1]; açò és, tres equacions

que nos permeten rebujar tres incògnites en funció de les demés, de modo que el número mínim de paràmetros o coordenades necessàries per a especificar la posició del sòlit és solament sis. Diem que el sòlit rígit posseïx sis graus de llibertat.

Geomètricament açò pot interpretar-se de la següent forma: tres graus de llibertat són utilisats per a donar les coordenades d'un punt P_i en l'espai. Una volta fix dit punt, qualsevol atre punt P_j del cos rígit té la seua posició llimitada per la condició de rigidea:

en lo que el punt P_j solament pot ubicar-se en la superfície de l'esfera de radi $r_{ij}$ i centre en P_i. Per a donar esta ubicació solament són necessaris dos graus de llibertat. Una volta fixats els punts P_i i P_j, el cos rígit pot rotar al voltant de l'eix que passa per abdós punts, en lo que qualsevol atre punt P_k solament pot descriure una circumferència al voltant de l'eix de rotació. Per a determinar que lloc de la circumferència es troba el punt P_k s'utilisa l'últim grau de llibertat.

Condició cinemàtica de rigidea

Figura 2. Condició geomètrica de rigidea. La distància entre dos punts qualssevol permaneix constant durant el moviment.

Figura 3. Condició cinemàtica de rigidea. Les velocitats dels punts alineats pertanyents a un sòlit rígit donen idèntica proyecció sobre la recta que definixen.

Per a descriure el moviment d'un sòlit rígit deuríem descriure el moviment de cada u dels punts o partícules materials que ho constituïxen. La situació pot semblar-nos massa complicada pero, afortunadament, la pròpia condició de rigidea impon certes restriccions al moviment dels distints punts materials del sòlit, de modo que la situació se simplifica enormement.

Per a cada parella de punts pertanyents al sòlit rígit, la (P_i,P_j) per eixemple, podem escriure la condició geomètrica de rigidea, açò és, la ec. [1.1], que derivada sobre el temps nos conduïx a

que també podem escriure en la forma

a on r_ij i v_ij representen, respectivament, el vector de posició i la velocitat de la partícula P_i sobre la P_j. La ec. [2] expressa un resultat important: al no ser nuls cap dels vectores que intervenen en el producte escalar, han de ser perpendiculars entre sí. Dit d'un atre modo: tot vector en els seus extrems fixos en el sòlit rígit (ya que el r_ij és vàlit per a qualsevol parell de punts constituents del sòlit) és perpendicular a la seua derivada sobre el temps (i.i., a v_ij).

La ec. [2] pot escriure's en la forma

o també

equació que expressa l'igualtat entre les proyeccions de les velocitats dels punts P_i i P_j sobre la recta que els unix. Este resultat constituïx la condició cinemàtica de rigidea que s'enuncia aixina:

Les velocitats dels punts alineats pertanyents al sòlit rígit donen la mateixa proyecció sobre la recta que els unix.

Manifestament, la condició cinemàtica de rigidea expressa l'impossibilitat de que es modifique la distància entre dos punts qualssevol del sòlit en el transcurs del moviment d'est, ya que en ser sempre les seues velocitats iguals en la recta que els unix, és impossible que algun s'acoste a l'atre.

El moviment més general del sòlit rígit pot considerar-se com la superposició de dos tipos de moviment bàsics: de translació i de rotació.

Moviments d'un sòlit rígit

Moviment de translació

Figura 4. Moviment de translació.

Figura 5. En el moviment de translació tots els punts del sòlit tenen la mateixa velocitat.

Figura 6. Moviment de translació de les barquillas de la nòria.

El moviment de translació és el més senzill que pot realisar el sòlit rígit. Des d'un punt de vista geomètric, ho podem definir del modo següent:

Es diu que un sòlit rígit es troba animat d'un moviment de translació quan tot segment rectilíneo definit per dos punts d'aquell permaneix paralel a sí mateixa en el transcurs del moviment.

Considerem un sòlit rígit animat d'un moviment de translació, com es mostra en la Figura 4. En virtut de la condició geomètrica de rigidea, el vector r_ij = r_i-r_j deu mantindre constant el seu mòdul en el transcurs de qualsevol moviment i, ademés, en virtut de la definició geomètrica del moviment de translació, també ha de mantindre constant la seua direcció; llavors, sent c un vector constant, es pot escriure:

i derivant sobre el temps

constituint esta igualtat la condició cinemàtica del moviment de translació, açò és:

Tots els punts d'un sòlit rígit animat d'un moviment de translació tenen, en cada instant, la mateixa velocitat.

Eixa velocitat, comuna a tots els punts del sòlit, rep el nom de velocitat de translació del sòlit i deu ser considerada com un vector lliure. Les mateixes consideracions poden aplicar-se a l'acceleració. En conseqüència, una volta definit el moviment d'un punt qualsevol del sòlit rígit que es trasllada, tenim definit el moviment del sòlit.

Una atra característica important del moviment de translació del sòlit rígit és que les trayectòries recorregudes pels seus diversos punts són congruents, és dir, una es pot obtindre per mig d'una translació de l'atra. En efecte, considerem de nou dos punts qualssevol, P_i i P_j, pertanyents al sòlit, i siguen r_i i r_j els seus vectores de posició sobre un cert orige arbitrari O. Imaginem un desplaçament experimentat en una translació del sòlit, de modo que els vectores de posició d'eixos punts, sobre el mateix orige O, siguen ara r′_i i r′_j, respectivament. La condició geomètrica de rigidea junt en la condició geomètrica que definix al moviment de translació, nos conduïxen a:

de modo que el desplaçament experimentat per cada u dels punts del sòlit durant un interval de temps Δt és únic. D'este resultat, junt en la noció de la llínea curva com a llímit d'una poligonal i de la continuïtat del moviment, se seguix la congruència de les trayectòries recorregudes pels distints punts del sòlit rígit.

És convenient que insistim que el moviment de translació no prejuzga forma alguna per a les trayectòries dels distints punts que constituïxen el sòlit. Evidentment, si la velocitat de translació és constant (v=cte), cada u dels punts del sòlit recorrerà una trayectòria rectilínea en celeritat constant i totes eixes trayectòries seran paraleles entre sí (moviment de translació uniforme). Pero, en general, la velocitat de translació no té per qué ser constant i la trayectòria pot ser curvilínea. Aixina, per eixemple, les trayectòries recorregudes pels distints punts del cos poden ser circumferències, totes elles del mateix radi (congruents) encara que de distint centre. Esta situació es presenta en una nòria de fira d'eix horisontal, com es mostra en la Figura; l'armadura de la nòria gira entorn a l'eix (rotació), pero les barquillas suspeses de dita armadura, prescindint de chicotetes oscilacions pendulares, experimenten una translació en trayectòria circular.

Moviment de rotació

AP

Figura 7. Moviment de rotació. El vector velocitat angular és únic (invariante), pero cada punt del sòlit té una velocitat diferent de la dels atres.

Es diu que un sòlit rígit està animat d'un moviment de rotació al voltant d'un eix fix quan tots els seus punts descriuen trayectòries circulares centrades sobre dit eix i contingudes en plans normals a est.

L'eix de rotació pot travessar el cos o ser exterior al mateix; en el primer cas, els punts del sòlit que estan sobre l'eix permaneixen en repòs mentres que els demés punts descriuen circumferències entorn a l'eix; en el segon cas, tots els punts del sòlit estan en moviment circular al voltant de l'eix exterior al sòlit. En qualsevol cas, la velocitat v d'un punt P del sòlit serà tangente a la circumferència descrita i, en un instant donat, tindrà un mòdul tant major quant major siga la distància del punt a l'eix de rotació. Dita velocitat ve donada per

(1) $𝐯=v{𝐞}_{\text{t}}$

sent ${𝐞}_{\text{t}}$ un vector unitari (de mòdul igual a l'unitat) tangente a la trayectòria i v el mòdul de la velocitat. Tinga's en conte que necessàriament ${𝐞}_{\text{t}}$ canviarà a lo llarc del moviment, ya que anirà contínuament modificant la seua direcció fins a aplegar de nou a l'orientació original, despuix de completar un gir de $2\pi$ radianes.

El mòdul de la velocitat, denominat celeritat, es correspon en

(2) $v=\frac{ds}{dt}$

considerant s la distància que el sòlit va recorrent a lo llarc de la circumferència. Donada la definició matemàtica d'àngul $\theta =s/r$, es verifica que ds = rdθ, per ad açò caldrà expressar l'àngul en radianes (rad). D'ací es deduïx que

(3) $v=\frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta }{dt}$

El cocient dθ/dt rep el nom de celeritat angular i es designa per ω:

(4) $\omega =\frac{d\theta }{dt}$

i podem expressar la celeritat v de qualsevol punt del sòlit com el producte de la celeritat angular per la distancia r del punt al eix de rotació

(5) $v=\omega r$

L'introducció del concepte de celeritat angular és de gran importància per la simplificació que supon en la descripció del moviment de rotació del sòlit, ya que, en un instant donat, tots els punts del sòlit posseïxen la mateixa celeritat angular, mentres que a cada u d'ells li correspon una celeritat que és funció de la seua distància a l'eix de rotació. Aixina que, la celeritat angular caracterisa al moviment de rotació del sòlit rígit entorn a un eix fix. La celeritat angular es medix en radianes per segon (rad/s).

Moviment general

De lo dit anteriorment el conjunt de "posicions" generals $ℰ$ d'un sòlit rígit o conjunt d'estats es pot representar pel conjunt $ℰ={ℝ}^3\times \text{SO}(3)$, és dir, en cada instant el poscionamiento general $(𝐫(t),𝐑(t)$ queda especifiado si es dona un vector de tralación $𝐫(t)\in {ℝ}^3$ que dona el moviment d'un dels seus punts respecte a la posició inicial, i una matriu de rotació ${𝐑}_t\in \text{SO}(3)$ que definix l'orientació del sòlit rígit en cada moment, especificant cóm ha rotado respecte a la seua orientació original. En este cas, el moviment general es pot expressar com:

A on:

$𝐫(t)=(x(t),y(t),z(t))$, és la posició d'un punt del sòlit rígit en un moment donat.

${𝐫}_0=𝐫(0)=(x_0,y_0,z_0)$, és la posició inicial del punt.

$𝐑(t)$, és una matriu de rotació, en la convenció de que $𝐑(0)=𝐈$ (matriu identitat).

És interessant notar que l'equació anterior pot escriure's per mig de matrius de quatre per quatre de la següent manera:

El conjunt de matrius de $4\times 4$ com l'anterior constituïxen una representació del grup euclídeo especial tridimensional $\text{SE}(3)$ que és el grup d'isometríes del espai euclídeo tridimensional.

Vector velocitat angular

Figura 8. Moviment de rotació. Trayectòria circular d'un punt del sòlit al voltant de l'eix de rotació.

Es definix el vector velocitat angular ω, com un vector situat sobre l'eix de rotació, el mòdul de la qual és la rapidea angular anteriorment definida, o siga

i la direcció del qual està donada per la regla de la mà dreta. Si designem per i al versor paralel a l'eix, i la direcció del qual siga la definit per la regla anterior, es té:

Cridant i_t i i_n als versores tangencial i normal, respectivament, a la trayectòria del punt genèric P, la velocitat d'eixe punt pot expressar-se en la forma

de modo que podem afirmar:

La velocitat v d'un punt genèric P del sòlit rígit en rotació és igual al moment del vector velocitat angular ω sobre dit punt P.

Aixina que, coneguda la velocitat angular ω queda determinada la distribució de velocitats en tots els punts del sòlit rígit en rotació. L'expressió [3] pot escriure's en la forma

a on $𝐫=\overrightarrow{\text{OP}}$ és el vector de posició del punt genèric P sobre un punt qualsevol de l'eix de rotació. Les definicions anteriors exigixen que el vector velocitat angular ω tinga caràcter deslizante sobre el eix de rotació.

Una forma abstracta demostrar en un moviment de sòlit rígit sempre es pot definir una velocitat angular és partir del caràcter ortogonal del grup de rotacions, ya que:

Derivant respecte al temps s'obté que:

Per lo que la matriu definida com $𝜴=\dot{𝐑}{𝐑}^T$ resulta ser antisimètrica ${𝜴}^T=(\dot{𝐑}{𝐑}^T{)}^T=𝐑{\dot{𝐑}}^T=-\dot{𝐑}{𝐑}^T=-𝜴$, per oque tindrà la forma:

Les en les tres components independents pot formar-se un pseudovector $𝝎(t)=({\omega }_x(t),{\omega }_y(t),{\omega }_z(t))$ cridat "vector velocitat angular", que ademés satisfà la següent identitat:

per a qualsevol vector $𝐛\in {ℝ}^3$.

Vore també

• Cinemàtica
• Choc inelástico
• Mecànica del sòlit rígit
• Equacions de Euler per al sòlit rígit

Referències

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol), Monytex.
• Marion, Jerry B. (1996). Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol), Barcelona: Ed. Reverté.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en anglés), New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Curs Interactiu de Física en Internet. Ángel Franco García.

Enllaços externs

• Script de Física d'Ingenieria Mecànica, des de la pàgina 72, 6º Tema Cinemàtica del sòlit rígit.