Tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Els tensors de tensió de Piola-Kirchhoff són tensorés usats en la teoria de l'elasticitat en deformacions finitas per a representar la tensió sobre la configuració inicial no deformada. Açò contrasta en el tensor de tensions de Cauchy usualment usat per a representar les tensions per a la configuració deformada.

En la teoria llineal de l'elasticitat degut a que la configuració deformada i la configuració no deformada són pràcticament iguals, es pot usar el tensor de tensions de Cauchy per a representar les tensions en la configuració inicial no deformada en molt bona aproximació. No obstant, en grans deformacions açò no resulta adequat, i en general es requerix l'us dels tensors de Piola-Kirchhoff. Existixen dos tipos de tensors de Piola-Kirchoff:

• Primer tensor de Piola-Kirchoff, que és un tensor mixt que relaciona la configuració inicial no deformada en les tensions en la configuració deformada.
• Segon tensor de Piola-Kirchoff, és un tensor simètric que permet plantejar el problema elàstic sobre la configuració inicial.

Estos tensors prenen el seu nom de Gabrio Piola i Gustav Kirchhoff.

Primer tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Mentres que el tensor de tensions de Cauchy T_C = (σ_ij) relaciona les forces en la configuració final deformada en les àrees de la configuració final deformada, el primer tensor de Piola-Kirchhoff T_R = (P_Ij) relaciona les forces en la configuració final deformada en les àrees en la configuració inicial no deformada (configuració material). Les components d'este tensor es relacionen en les del tensor de Cauchy per mig de:

A on:

${𝐅}_{iJ}=\frac{\partial x_i}{\partial X_J}$ és el gradient de deformació, que relaciona la configuració inicial no deformada i la configuració final deformada.

$𝐗=(X_1,X_2,X_3)$ són les coordenades materials o les coordenades sobre la configuració no deformada.

$𝐱=(x_1,x_2,x_3)$ són les coordenades espacials o les coordenades sobre la configuració deformada.

Més senzillament en components i usant en conveni de sumación d'Einstein, la relació anterior pot escriure's com:

ya que este tensor relaciona magnituts de diferents sistemes coordenados és un tensor de "dos punts" o tensor mixt. En general, este tensor no serà simètric. En una rotació rígida les components d'este tensor en general no es mantindran constants. Este tensor és el "moment conjugat" del gradient de deformació.

Segon tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Mentres que el primer tensor de Piola-Kirchhoff T_R relaciona forces en la configuració final deformada en àrees en la configuració inicial no deformada, el segon tensor de Piola-Kirchhoff S_R = (S_IJ) relaciona forces i àrees sobre la configuració inicial no deformada, i per tant constituïx un tensor ordinari (no mixt). Les forces sobre la configuració inicial de referència s'obtenen proyectant les forces sobre la configuració deformada, a través d'isomorfisme que relaciona abdós geometria. La relació entre el segon tensor de Piola-Kirchhoff i el tensor tensió de Cauchy ve dau per:

Per definició ademés este tensor, de la mateixa manera que el tensor tensió de Cauchy, és simètric. La relació anterior expressada en components és simplement:

Si el material trencada per mig d'una "rotació rígida" sense canvi de forma i per tant sense canvi en les tensions, llavors les components del segon tensor de Piola-Kirchhoff permaneixen constants durant dita rotació.

Este segon tensor de Piola-Kirchhoff és el "moment conjugat" respecte a l'energia total del tensor deformació de Green-Lagrange.

Referències

• Introduction to the mechanics of a continuum medium, L. E. Malvern, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1969.
• Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity, Elsevier Science Publishers, Ámsterdam, 1988. ISBN 0-444-81776-X.