Problema elàstic

El problema elàstic és el problema físic-matemàtic de trobar els desplaçaments i les tensions en un sòlit deformable elàstic, partint de la forma original del sòlit, de les forces actuantes sobre el mateix i dels desplaçaments imposts d'alguns punts de la superfície del sòlit.

El problema elàstic llineal és un tipo particular de problema elàstic en que tant l'equació constitutiva, com la relació entre deformacions i desplaçaments ve donada per equacions llineals. En este cas, el problema generalment es pot reduir a un problema mixt de Dirichlet-Von Neumann sobre un domini de l'espai que coincidix en la forma del cos elàstic abans de la deformació.

El problema elàstic llineal

El problema elàstic llineal es pot descriure per mig d'un sistema de 15 equacions diferencials llineals, més les seues condicions de contorn. Este sistema d'equacions està formulat per les tres equacions d'equilibri que expressen que la suma de forces sobre qualsevol punt del cos és zero:

A on $𝐛=(b_x,b_y,b_z)$ són les forces per unitat de volum que actuen en l'interior del cos i $𝝈=[{\sigma }_{ij}]$ és el tensor tensió de cos. Ademés de les tres equacions anteriors intervé les equacions constitutives que representen sis equacions escalares més:

A on s'han usat els coeficients de Lamé (λ, μ) i la deformació volumètrica ${\epsilon }_V={\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz}$. Finalment es requerix una relació entre desplaçaments i deformacions, que en última instància permet relacionar les forces aplicades en els desplaçaments sofrits pel cos. En teoria de l'elasticitat llineal estes relacions vénen donades per:

Formulació de Navier en desplaçaments

Esta formulació evita el problema d'integrar les equacions de compatibilitat ya que planteja directament el problema en funció dels tres camps de desplaçaments incògnita (o_x, o_i, o_z), en la qual cosa les equacions de compatibilitat es complixen automàticament i no són necessàries. Matemàticament basta substituir les equacions (3) en les equacions (2) i substituir novament el resultat en les equacions (1). Este esquema, reduïx enormement el tamany del sistema d'equacions diferencials que cal resoldre. Per a un sòlit elàstic llineal i isótropo les tensions en funció dels camps de desplaçament vénen daus per:

(4) ${\sigma }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z})+\mu (\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j})$

A on $\lambda ,\mu$ són els cridats coeficients de Lamé que caracterisen el comportament elàstic del material. Si les expressions (4) s'introduïxen en les equacions d'equilibri (1) per a punts interiors del sòlit s'aplega a un sistema de tres equacions en derivades parcials que relacionen les forces de volum (b_x, b_i, b_z) en els desplaçaments:

Les tres equacions anteriors poden reunir-se en una única equació vectorial com:

(5b) $𝐛+(\lambda +\mu )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu \Delta 𝐮=0$

Formulació de Michell-Beltrami en tensions

El problema elàstic llineal també pot formular-se exclusivament en térmens de tensions, encara que en eixe cas la solució és única llevat un moviment de sòlit rígit per als desplaçaments. Si es reescriuen les equacions de compatibilitat en térmens de les tensions i en elles es substiyen les equacions d'equilibri s'apleguen a les equacions de Michell:

A on:

$𝐛=(b_x,b_y,b_z)$, són les forces volumètriques o densitat de força.

${\sigma }_V={\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}$

Un cas particular de les anteriors equacions, quan les forces volumètriques són constants, són les equacions de Beltrami, en les que el segund membre s'anula:

Unicitat del problema elàstic llineal

El problema elàstic llineal definit pels seus 15 equacions de govern donada per (1), (2) i (3) més les condicions de contorn té solució única, tant en la seua versió depenent del temps en en la seua versió independent del temps, sempre i quan el tensor de constants elàstiques siga definit positiu, cosa que succeïx per a tots els materials coneguts.

La demostració matemàtica d'este fet es realisa suponent que existixen dos solucions:

${𝐮}^{(1)}(x,y,z),{𝐮}^{(2)}(x,y,z)$

que satisfan les equacions del problema i les condicions de contorn. A continuació es definix el funcional de potència mecànica:

$\dot{E}(u):=\frac{1}{2}\underset{V}{\int }(\rho ||\dot{𝐮}|{|}^2+\sum _{i,j}{\sigma }_{ij}(𝐮){\dot{ϵ}}_{ij}(𝐮))dV$

I es calcula l'energia associada al camp de desplaçaments:

$\widetilde{𝐮}:={𝐮}^{(1)}-{𝐮}^{(2)}$

Es pot provar fàcilment que $\dot{E}(\widetilde{𝐮})=0$ la qual cosa donat el caràcter definit positiu del tensor de constants elàstiques implica necessàriament que:

$\widetilde{𝐮}=0\Rightarrow {𝐮}^{(1)}={𝐮}^{(2)}$

per a qualsevol punt del cos elàstic.

Casos particulars

Si ben no es coneix un procediment general per a trobar una solució al problema elàstic en la seua forma més general. Existixen numeroses solucions o esquemes de solució útils quan el problema elàstic apareix en certes geometria o formes simplificades. Típicament el problema elàstic resulta més senzill quan:

• Es té un estat elàstic d'elasticitat plana, és dir, quan en el càlcul de les tensions i/o les deformacions pot reduir-se el problema elàstic a un cert tipo de problema bidimensional.
• Existix simetria axial d'algun tipo.
• En cert tipo de sòlits elàstics semi-infinits, la qual cosa permet donar resupuestas aproximades a molts problemes d'ingenieria geotécnica quan el terreny es modeliza com un sòlit elàstic semi-infinit.

El problema elàstic no llineal

El problema elàstic no llineal planteja dificultats adicionals séries respecte al problema no llineal entre elles:

1. El sistema d'equacions és no llineal, en este cas tant les equacions de compatibilitat com les equacions que relacionen desplaçaments i deformacions són no llineals.
2. La forma geomètrica del cos abans i despuix de la deformació no coincidixen, la qual cosa du a la dificultat adicional de descriure el domini sobre el que estan definides les equacions diferencials del problema elàstic no llineal.

Estes dos dificultats generalment són inseparables: només les tres equacions d'equilibri són llineals si s'estudia el problema sobre la geometria del cos una volta deformada, encara que esta forma deformada a priori no és coneguda tal com expressa la segona dificultat.

Tensor tensió de Piola-Kirchhoff

Una possibilitat és tractar de resoldre el problema elàstic tenint en conte que existix un difeomorfismo entre la forma del cos una volta deformat i la forma del cos abans de la deformació. Seguint la convenció usual es designen les coordenades sobre el cos abans de deformar per mig de $X^J$ i les coordenades sobre el cos deformat com $x^j$ de tal manera que la deformació pot representar-se pel difeomorfismo:

Per mig d'este difeomorfismo partix pot tractar d'escriure's les equacions del problema en lloc sobre el domini ocupat pel cos una volta deformat, que a priori és desconegut, sobre el domini abans de la deformació. Les equacions d'equilibri sobre el domini original no deformat en notació tensorial resulten ser:

A on $|g|$ és el determinant del tensor mètric que coincidix en el quadrat del jacobiano respecte a les coordenades cartesianes. Per a poder escriure les equacions d'equilibri sobre el domini de referència sense deformar podem usar el segon tensor de Piola-Kirchhoff ${\Sigma }_R=(S_{IJ})$:

Reescrivint (*) eixa encuación gràcies al tensor de Piola-Kirchhoff tenim que les equacions d'equilibri prenen la forma:

Existència i unicitat del problema elàstic no llineal

Tal com mostren numerosos eixemples de no linealidad geomètrica i inestabilitat elàstica com la abolladura o l'inestabilitat d'arcs, en general per a un valor donat de les càrregues existixen vàries configuracions deformades possibles, és dir, en eixos casos no existix una solució única del problema elàstic compatible en les condicions de contorn i les forces aplicades.

És més, pugues inclús succeir que per a certes configuracions ni tan sols existix equilibri compatible en certs valors de la deformació, com succeïx en l'inestabilitat d'arcs. Esta dificultat es resol si considera el problema elàstic general depenent del temps, llavors sempre existix solució (encara que esta pugues no ser única si la solució correspon a una configuració estàtica d'equilibri).

En canvi per a un problema de desplaçament pur, a on es prescriuen desplaçaments donats sobre tota la frontera de cos elàstic està garantisada l'existència de solució. També per a problemes desplaçament-tracció en que para cada punt de la frontera del sòlit està prescrit o be el seu desplaçament o be la força puntual que actuarà sobre dit punt. En tots estos casos J. Ball va demostrar l'existència de solució i va provar que dita solució és un mínim del funcional d'energia, baix certes condicions tècniques sobre l'equació constitutiva del material elàstic.