Teoria de la representació del grup de Lorentz

Archiu:Einstein en Lorentz.jpg

Hendrik Antoon Lorentz (dreta), de qui du el nom el grup de Lorentz; i Albert Einstein, que la seua teoria de la relativitat especial és la seua principal font d'aplicació. Foto presa per Paul Ehrenfest 1921

El grup de Lorentz és un grup de Lie de simetria del espai-temps de la teoria de la relativitat especial. Este grup es pot realisar com una colecció de matrius, aplicacions llineals o també operadors unitaris en alguns espais de Hilbert; i posseïx distintes representacions. Este grup és significatiu perque la relativitat especial junt en mecànica quàntica són les dos teories físiques més completament establides, i la conjunció d'estes dos teories és l'estudi de les representacions unitàries de dimensió infinita del grup de Lorentz. Estes representacions tenen tant importància històrica en la física convencional, com a conexions en teories actuals més especulatives.

Desenroll

La teoria completa de les representacions de dimensió finita del àlgebra de Lie del grup de Lorentz es deduïx utilisant el marc general de la teoria de representació de les àlgebra de Lie semisimples. Les representacions de dimensió finita del component conectat $\text{SO}(3;1{)}^{+}$ del grup de Lorentz complet O(3; 1) s'obtenen amprant la correspondència de Lie i l'exponencial d'una matriu. S'obté la teoria completa de representació de dimensió finita del grup de recobriment universal (i també del grup espinorial, en un doble recobriment) $\text{SL}(2,ℂ)$ de $\text{SO}(3;1{)}^{+}$, i es dona explícitament en térmens d'acció en un espai funcional en representacions de $\text{SL}(2,ℂ)$ i de $𝔰𝔩(2,ℂ)$. Les representacions de l'inversió del temps i de l'inversió de l'espai es donen en l'epígraf inversió de l'espai i inversió del temps, completant la teoria de dimensió finita per al grup de Lorentz complet. Es descriuen les propietats de les representacions (m, n) generals. Es considera l'acció sobre espais funcionals, i l'acció sobre els harmònics esfèrics i les funciones P de Riemann apareixen com a eixemples. El cas de dimensió infinita de les representacions unitàries irreducibles es detalla per a $\text{SL}(2,ℂ)$, la série principal i la série complementària. Finalment, es proporciona Fòrmula de Plancherel para $\text{SL}(2,ℂ)$, i les representacions de SO(3, 1) es classifiquen i es realisen per a àlgebra de Lie.

El desenroll de la teoria de la representació ha seguit històricament el desenroll de la teoria més general de la teoria de la representació de grups reductivos, en gran part deguda a Élie Cartan i a Hermann Weyl, pero el grup de Lorentz també ha rebut especial atenció per la seua importància en física. Autors d'aportacions notables varen ser el físic Eugene Paul Wigner i el matemàtic Valentine Bargmann, en el seu Programa de Bargmann-Wigner, una de les conclusions de la qual és, aproximadament, que una classificació de totes les representacions unitàries del grup no homogéneu de Lorentz equival a una classificació de totes les possibles equacions d'ones relativistes. La classificació de les representacions irreducibles de dimensió infinita del grup de Lorentz va ser establida per l'estudiant de doctorat en física teòrica de Paul Dirac, Harish-Chandra, més vesprada convertit en matemàtic, en 1947. La classificació corresponent per a $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℂ)$ va ser publicada de forma independent per Bargmann i Israel Guelfand junt en Mark Naimark en el mateix any.

Aplicacions

Moltes de les representacions, tant de dimensió finita com de dimensió infinita, són importants en la física teòrica. Les representacions apareixen en la descripció de camps en la teoria clàssica de camps, sent el més important el camp electromagnètic, i de partícules en mecànica quàntica relativista, aixina com de partícules i camps quàntics en la teoria quàntica de camps i d'atres objectes en la teoria de cordes i més allà. La teoria de la representació també proporciona la base teòrica per al concepte de spin. La teoria entra en relativitat general en el sentit de que en regions suficientment chicotetes de l'espai-temps, la física és la de la relativitat especial.

Les representacions no unitàries irreducibles de dimensió finita junt en les representacions unitàries irreducibles de dimensió infinita del grup no homogéneu de Lorentz, el grup de Poincaré, són les representacions que tenen rellevància física directa.

Les representacions unitàries de dimensió infinita del grup de Lorentz apareixen per restricció de les representacions unitàries de dimensió infinita irreducibles del grup de Poincaré que actuen sobre els espais de Hilbert de la mecànica quàntica relativista i de la teoria quàntica de camps. Pero estos també són d'interés matemàtic i de rellevància física directa potencial en atres comesos ademés del de la mera restricció. Va haver teories especulatives, (els tensors i els espinores tenen infinites contrapartes en els expansores de Dirac i els expinores de Harish-Chandra) consistents en la relativitat i la mecànica quàntica, pero no han trobat cap aplicació física provada. Les teories especulatives modernes tenen potencialment ingredients similars, segons es detalla a continuació.

Teoria clàssica de camps

Si ben el camp electromagnètic junt en el camp gravitatorio són els únics camps clàssics que proporcionen descripcions precises de la naturalea, atres tipos de camps clàssics també són importants. En l'enfocament de la teoria quàntica de camps (TCC), denominat segona cuantización, el punt de partida és un o més camps clàssics, a on, per eixemple, les funcions d'ona que resolen l'equació de Dirac es consideren camps clàssics abans de la (segona) quantificació. Si be la segona quantificació i el formalisme Lagrangiano associat a ella no és un aspecte fonamental de la teoria quàntica de camps, és cert que fins ara totes les teories quàntiques de camps poden abordar-se d'esta manera, inclós el model estàndar de la física de partícules. En estos casos, existixen versions clàssiques de les equacions de camp que seguixen les equacions de Euler-Lagrange derivades del lagrangiano usant el principi de mínima acció. Estes equacions de camp deuen ser relativistes invariantes i les seues solucions (que es calificaran com a funcions d'ona relativistes segons a la definició següent) deu transformar-se baix alguna representació del grup de Lorentz.

L'acció del grup de Lorentz en l'espai de configuracions de camp (una configuració de camp és l'història espai-temporal d'una solució particular, per eixemple, el camp electromagnètic en tot l'espai durant tot el temps és una configuració de un camp) s'assembla a l'acció sobre els espais de Hilbert de la mecànica quàntica, llevat que els commutadors són reemplaçats pels corchetes de Poisson teòrics del camp.

Mecànica quàntica relativista

Per als presents propòsits es fa la següent definició: una funció d'ona relativista és un conjunt de funcions n ψ^α en l'espai-temps que es transforma baix una transformació arbitrària pròpia de Lorentz Λ com

$\psi {\text{'}}^{\alpha }(x)=D{[\Lambda {]}^{\alpha }}_{\beta }{\psi }^{\beta }\left({\Lambda }^{-1}x\right),$

a on D[Λ] és una matriu n dimensional representativa de Λ que pertany a alguna suma directa de les representacions (m, n) que es presentaran a continuació.

Les teories de una partícula de la mecànica quàntica relativista més útils (no existixen teories d'este tipo totalment consistents) són l'equació de Klein-Gordon i l'equació de Dirac en la seua configuració original. Són relativistamente invariantes i les seues solucions es transformen baix el grup de Lorentz com escalares de Lorentz ((m, n)= (0, 0)) i els biespinorés ((0, Plantilla:Sfrac) ⊕ (Plantilla:Sfrac, 0)) respectivament. El camp electromagnètic és una funció d'ona relativista segons esta definició, que es transforma baix (1, 0) ⊕ (0, 1).

Les representacions de dimensió infinita es poden utilisar en l'anàlisis de la dispersió.

Teoria quàntica de camps

En la teoria quàntica de camps entra el compliment de la invariancia relativista, entre atres coses en el sentit de que la matriu S necessàriament deu ser invariante de Poincaré. Açò té l'implicació de que hi ha una o més representacions de dimensió infinita del grup de Lorentz que actuen sobre un espai de Fock. Una forma de garantisar l'existència de tals representacions és l'existència d'una descripció lagrangiana (en alguns requisits bàsics imposts, vore la referència) del sistema utilisant el formalisme canònic, del que es pot deduir una realisació dels generadors del grup de Lorentz.

Les transformacions dels operadors de camp ilustren el paper complementari eixercitat per les representacions de dimensió finita del grup de Lorentz i les representacions unitàries de dimensió infinita del grup de Poincaré, testimoniant la profunda unitat entre les matemàtiques i la física. A modo d'ilustració, considere's la definició d'un operador de camp de n components: Un operador de camp relativiste és un conjunt de n funciones valorades per l'operador en l'espai-temps que es transforma baix les transformacions de Poincaré pròpies (Λ, a) segons

${\Psi }^{\alpha }(x)\to \Psi {\text{'}}^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]{\Psi }^{\alpha }(x)U^{-1}[\Lambda ,a]=D{{\left[{\Lambda }^{-1}\right]}^{\alpha }}_{\beta }{\Psi }^{\beta }(\Lambda x+a)$

Ací, O[Λ, a] és l'operador unitari que representa (Λ, a) en l'espai de Hilbert en el que es definix Ψ, i D és una representació n dimensional del grup de Lorentz. La regla de transformació és el segon axioma de Wightman de la teoria quàntica de camps.

Per consideracions de restriccions diferencials a les que deu estar subjecte l'operador de camp per a descriure una sola partícula en massa definida m i espin s (o helicidad), es deduïx que Plantilla:NumBlk a on a^†, a s'interpreten com els operadors de creació i aniquilació respectivament. L'operador de creació a^† es transforma segons

$a^{†}(𝐩,\sigma )\to a{\text{'}}^{†}(𝐩,\sigma )=U[\Lambda ]a^{†}(𝐩,\sigma )U\left[{\Lambda }^{-1}\right]=a^{†}(\Lambda 𝐩,\rho )D^{(s)}{{[R(\Lambda ,𝐩{)}^{-1}]}^{\rho }}_{\sigma },$

i lo mateixa ocorre en l'operador d'aniquilació. El punt a destacar és que l'operador de camp es transforma segons una representació no unitària de dimensió finita del grup de Lorentz, mentres que l'operador de creació es transforma baix la representació unitària de dimensió infinita del grup de Poincaré caracterisat per la massa i l'espin (m, s) de la partícula. La conexió entre abdós són les funcions d'ona, també conegudes com a funcions de coeficients

$u^{\alpha }(𝐩,\sigma )e^{ip\cdot x},v^{\alpha }(𝐩,\sigma )e^{-ip\cdot x}$

que porten tant els índexs (x, α) operats per les transformacions de Lorentz com els índexs (p, σ) operats per les transformacions de Poincaré. A açò se li pot cridar conexió Lorentz-Poincaré. Per a exhibir la conexió, es deu sometre a abdós costats de l'equació Plantilla:EquationNote a una transformació de Lorentz que resulte, per eixemple, en la variable o,

${D[\Lambda {]}^{\alpha }}_{{\alpha }^{\prime }}{u}^{{\alpha }^{\prime }}(𝐩,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,𝐩){]}^{{\lambda }^{\prime }}}_{\lambda }{u}^{\alpha }(\Lambda 𝐩,{\lambda }^{\prime }),$

a on D és el grup de Lorentz no unitari representatiu de Λ; i D^(s) és un representant unitari de l'anomenada rotació de Wigner R associat a Λ i a p que es deduïx de la representació del grup de Poincaré, i s és l'espin de la partícula.

Totes les fòrmules anteriors, inclosa la definició de l'operador de camp en térmens d'operadors de creació i aniquilació, aixina com les equacions diferencials satisfetes per l'operador de camp per a una partícula en massa i espin específics i la representació (m, n) baix la qual se supon la transformació i també la de la funció d'ona poden derivar-se únicament de consideracions teòriques de grup una volta que es coneixen els marcs de la mecànica quàntica i de la relativitat especial.

Teories especulatives

En aquelles teories en les que l'espai-temps pot tindre més de D= 4 dimensions, els grups generalisats de Lorentz O(D − 1; 1) de la dimensió apropiada prenen el lloc de O(3; 1).

El requisit de la invariancia de Lorentz adquirix potser el seu efecte més cridaner en la teoria de cordes. Les cordes relativistes clàssiques es poden manejar en el marc lagrangiano utilisant l'acció de Nambu-Goto. Açò dona com resultat una teoria relativistamente invariante en qualsevol dimensió de l'espai-temps. Pero resulta que les teories de cordes bosónicas obertes i tancades (les teories de cordes més simples) són impossibles de quantificar de tal manera que el grup de Lorentz estiga representat en l'espai d'estats (un espai de Hilbert) a menos que la dimensió de l'espai-temps siga 26. El resultat corresponent per a la teoria de supercuerdas es deduïx novament exigint la invariancia de Lorentz, pero ara en supersimetría. En estes teories, el grup de Poincaré es reemplaça per un àlgebra supersimétrica que és un àlgebra de Lie graduada Z₂ que estén l'àlgebra de Poincaré. L'estructura de tal àlgebra està fixada en gran mida per les exigències de la invariancia de Lorentz. En particular, els operadors fermiónicos (de grau 1) pertanyen a un espai de representació (0, Plantilla:Sfrac) o (Plantilla:Sfrac, 0) de l'àlgebra de Lie (ordinària) de Lorentz. L'única dimensió possible de l'espai-temps en tals teories és 10.

Vore també

• Equacions de Bargmann-Wigner
• Àlgebra de Dirac
• Matrius gamma
• Grup de Lorentz
• Transformació de Möbius

• Grup de Poincaré
• Teoria de la representació del grup de Poincaré
• Simetria en mecànica quàntica
• Classificació de Wigner

Bibliografia en llínea disponibles gratuïtament

• Plantilla:Cite arXiv Versió ampliada de les conferències presentades en la segona escola d'estiu de Física Matemàtica de Modave (Bèlgica, agost de 2006).
• (2014).«A compact formula for rotations as spin matrix polynomials».SIGMA.10doi:10.3842/SIGMA.2014.084. Els elements del grup de SU(2) s'expressen en forma tancada com a polinomis finitos dels generadors d'àlgebra de Lie, per a totes les representacions d'espin definides del grup de rotació.

Bibliografia

• (1965) Handbook of Mathematical Functions: with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486612720.
• (1947).«Irreducible unitary representations of the Lorenz group».Ann. of Math..48(3)

568–640.doi:10.2307/1969129. (la teoria de la representació de SO(2,1) i SL(2, R); la segona part sobre SO(3; 1) i SL(2, C) , descrit en l'introducció, mai va ser publicat).

• (1948).«Group theoretical discussion of relativistic wave equations».Proc. Natl. Acad. Sci. USA.34(5)

211–23.doi:10.1073/pnas.34.5.211.

• Bourbaki, N. (1998). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
• (1935).«Spinors in n dimensions».Amer. J. Math..57(2)

425–449.doi:10.2307/2371218.

• (1990) Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics (vol. 1), North-Holland. ISBN 978-0-444-88776-4.
• (1997) Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics (vol. 7), North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1.
• (1913).«Els groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane».Bull. Soc. Math. Fr..41

53–96.doi:10.24033/bsmf.916.

• (2014) Complex Variables and Applications, 9th edició, New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0073-383-170.

• Coleman, A. J. (1989). “The Greatest Mathematical Paper of All Clave”. The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38. doi:10.1007/BF03025189. ISSN 0343-6993.
• “Paul Adrien Maurice Dirac. 8 August 1902–20 October 1984” (1986). Biogr. Mem. Fellows R. Soc. 32: 138–185. doi:10.1098/rsbm.1986.0006.
• “Harmonic analysis in terms of the homogeneous Lorentz group” (1967). Physics Letters B 25 (3): 230–32. doi:10.1016/0370-2693(67)90050-0. Bibcode: 1967PhLB...25..230D.
• (1928).«The Quàntum Theory of the Electron».Proc. R. Soc. A.117(778)

610–624.doi:10.1098/rspa.1928.0023. (accés gratuït)

• (1936).«Relativistic wave equations».Proc. R. Soc. A.155(886)

447–459.doi:10.1098/rspa.1936.0111.

• (1945).«Unitary representations of the Lorentz group».Proc. R. Soc. A.183(994)

284–295.doi:10.1098/rspa.1945.0003.

• (1978).«Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables».Bull. Sci. Math..102

305–330.

• (1939).«Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin».Helv. Phys. Acta.12(1)

3–37.doi:10.5169/seals-110930.

• (1939).«On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field».Proc. R. Soc. A.173(953)

211–232.doi:10.1098/rspa.1939.0140.

• Folland, G. (2015). A Course in Abstract Harmonic Analysis, 2nd edició, CRC Press. ISBN 978-1498727136.
• (1991) Representation theory. A first course (vol. 129), New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8.
• (1953).«On a general method of decomposition of the regular representation of a Lie group into irreducible representations».Doklady Akademii Nauk SSSR.92

221–224.

• (1966).«Generalized functions. Vol. 5: Integral geometry and representation theory».Academic Press.

202–267.

• (1969).«Representation theory and automorphic functions».Academic Press.
• (1963).«Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications».Pergamon Press.New York:
• (1947).«Unitary representations of the Lorentz group».Izvestiya Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat..11(5)

411–504.

• Green, J. A. (1998). «Richard Dagobert Brauer», Biographical Memoirs (vol. 75), National Academy Press, pp. 70–95. ISBN 978-0309062954.
• (1994) Quàntum Mechanics: Symmetries, 2nd edició, Springer. ISBN 978-3540580805.
• (1996).«Field Quantization».Springer.
• (1947).«Infinite irreducible representations of the Lorentz group».Proc. R. Soc. A.189(1018)

372–401.doi:10.1098/rspa.1947.0047.

• (1951).«Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups».Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A..37(12)

813–818.doi:10.1073/pnas.37.12.813.

• (2003).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.222
• (2015).«Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.222ISSN 0072-5285.doi:10.1007/978-3-319-13467-3.
• (1968).«Lie groups and symmetric spaces».Benjamin.

1–71. (una introducció general per a físics)

• (2000).«Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions (corrected reprint of the 1984 original)».American Mathematical Society.83
• (1888).«Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen».Mathematische Annalen.31(2 (June))

252–290.doi:10.1007/bf01211904.

• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras (vol. 113), Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.

• Klauder, J. R. (1999). «Valentine Bargmann», Biographical Memoirs (vol. 76), National Academy Press, pp. 37–50. ISBN 978-0-309-06434-7.
• (2001).«Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples.».Princeton University Press. (tractament elemental per a SL(2,C))
• Langlands, R. P. (1985). “Harish-Chandra”. Biogr. Mem. Fellows R. Soc. 31: 198–225. doi:10.1098/rsbm.1985.0008.
• (2003).«Introduction to Smooth manifolds».218
• (1888).«Theorie der Transformationsgruppen I(1888), II(1890), III(1893)».
• «Gravitation».W. H. Freeman.
• (1964).«Linear representations of the Lorentz group (translated from the Russian original by Ann Swinfen and O. J. Marstrand)».Macmillan.
• (2002).«Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups».Oxford Science Publications.
• (1970).«The Lorentz group and harmonic analysis».Benjamin. (una descripció detallada per a físics)
• Simmons, G. F. (1972). Differential Equations with Applications and historical Notes, T M H edició, New Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd. ISBN 978-0-07-099572-7.
• (1970).«Analytic continuation of group representations».Advances in Mathematics.4(2)

172–207.doi:10.1016/0001-8708(70)90022-8. (Conferències de Matemàtiques de James K. Whittemore impartides en l'Universitat de Yale, 1967)

• (1963).«Sur els représentations unitaires dones groupes de Lorentz généralisés».Bull. Soc. Math. France.91

289–433.doi:10.24033/bsmf.1598.

• (1986).«Noncommutative harmonic analysis».American Mathematical Society.'22, Capítul 9, SL(2, C) i grups de Lorentz més generals
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics, 1st edició, New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
• Varadarajan, V. S. (1989). An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, Cambridge University Press. ISBN 978-0521663625.

• (2002).«Foundations».Cambridge University Press.Cambridge:1
• Weinberg, S. (2000). Supersymmetry, 1st edició (vol. 3), Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521670555.
• (1939).«The Classical Groups. Their Invariants and Representations».Princeton University Press.
• (1931).«The Theory of Groups and Quàntum Mechanics».Dover.
• (1939).«On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group».Annals of Mathematics.40(1)

149–204.doi:10.2307/1968551..

• Zwiebach, B. (2004). A First Course in String Theory, Cambridge University Press. ISBN 0-521-83143-1.