Regla de Born

La regla de Born és un postulat fonamental en la mecànica quàntica que determina la provabilitat de que una medició en un sistema quàntic produïxca un resultat donat. En la seua forma més simple, establix que la densitat de provabilitat de trobar un sistema en un determinat estat, quan es medix, és proporcional al quadrat de l'amplitut de la funció d'ona del sistema en eixe estat. Va ser formulat pel físic alemà Max Born en 1926.

Detalls

La regla de Born establix que si un observable corresponent a un operador autoadjunto $A$ en espectre discret es medix en un sistema en una funció d'ona normalisada $|\psi ⟩$ (vore notació Bra-ket ), llavors:

• El resultat medit serà un dels valors propis $\lambda$ de $A$, i
• La provabilitat de medir un determinat valor propi ${\lambda }_i$ serà igual a $⟨\psi |P_i|\psi ⟩$, on $P_i$ és la proyecció sobre l'espai propi de $A$ corresponent a ${\lambda }_i$ .

(En el cas de que l'espai propi de $A$ corresponent a ${\lambda }_i$ és unidimensional i està generat pel vector propi normalisat $|{\lambda }_i⟩$, $P_i$ és igual a $|{\lambda }_i⟩⟨{\lambda }_i|$, llavors la provabilitat $⟨\psi |P_i|\psi ⟩$ és igual a $⟨\psi |{\lambda }_i⟩⟨{\lambda }_i|\psi ⟩$ . Ya que el número complejo $⟨{\lambda }_i|\psi ⟩$ es coneix com la amplitut de provabilitat de que el vector d'estat $|\psi ⟩$ assigna al vector propi $|{\lambda }_i⟩$, és comú descriure la regla de Born dient que la provabilitat és igual a l'amplitut al quadrat (en realitat, l'amplitut multiplicada pel seu propi complex conjugat ). De manera equivalent, la provabilitat es pot escriure com $|⟨{\lambda }_i|\psi ⟩{|}^2$ . )

En el cas de que l'espectre de $A$ no siga completament discret, el teorema espectral demostra l'existència d'una certa mida en valor de proyecció $Q$, la mida espectral de $A$ . En este cas:

• La provabilitat de que el resultat de la medició es trobe en un conjunt mesurable $M$ està donada per $⟨\psi |Q(M)|\psi ⟩$ .

Una funció d'ona $\psi$ per a una sola partícula sense estructura en la posició espacial $(x,y,z)$ implica que la funció de densitat de provabilitat $p$ per a una mida de la posició de les partícules en el temps $t_0$ és:

$p(x,y,z,t_0)=|\psi (x,y,z,t_0){|}^2.$

En algunes aplicacions, este tractament de la regla Born es generalisa utilisant mides en valors d'operador positiu (POVM per les seues sigles en anglés: Positive operator-valued measurement). Un POVM, és una medida els valors de la qual són operadors semidefinidos positius en un espai d'Hilbert. Els POVM són una generalisació de les mides de von Neumann i, en conseqüència, les mides quàntiques descrites pels POVM són una generalisació de les mides quàntiques descrites pels observables autoadjuntos. En una analogia aproximada, una POVM és a un PVM lo que un estat mixt és a un estat pur . Es necessiten estats mixts per a especificar l'estat d'un subsistema d'un sistema més gran (vore purificació de l'estat quàntic); análogament, els POVM són necessaris per a descriure l'efecte en un subsistema d'una medició proyectiva realisada en un sistema més gran. Els POVM són el tipo de medició més general en mecànica quàntica i també poden ser usats en la teoria quàntica de camps . S'utilisen àmpliament en el camp de l'informació quàntica.

En el cas més simple, d'una POVM en un número finito d'elements actuant sobre un espai d'Hilbert de dimensió finita, una POVM és un conjunt de matrius semidefinidas positives $\{F_i\}$ en un espai de Hilbert $\mathscr{H}$ que suma a la matriu identitat, :

$\sum _{i=1}^n{F}_i=I.$

L'element POVM $F_i$ està associat en el resultat de la medició $i$, tal que la provabilitat d'obtindre-ho en realisar una medició sobre l'estat quàntic $\rho$ està donada per:

$p(i)=\mathrm{tr}(\rho F_i),$

a on $\mathrm{tr}$ és l'operador traça. Esta és la versió POVM de la regla de Born. Quan l'estat quàntic que es medix és un estat pur $|\psi ⟩$ esta fòrmula es reduïx a:

$p(i)=\mathrm{tr}(|\psi ⟩⟨\psi |F_i)=⟨\psi |F_i|\psi ⟩.$

La regla de Born, junt en l'unitariedad de l'operador d'evolució temporal $e^{-i\hat{H}t}$ (o, de manera equivalent, el hamiltoniano $\hat{H}$ sent hermítico), implica l'unitariedad de la teoria, la qual cosa és necessari per a la consistència de la mateixa. Per eixemple, la unitariedad assegura que les provabilitats de tots els resultats possibles sumixen 1 (encara que no és l'única opció per a complir en este requisit particular).

Història

La regla de Born va ser formulada per Born en un artícul de 1926. En este artícul, Born resol l'equació de Schrödinger per a un problema de dispersió i, inspirat per Albert Einstein i la regla provabilística d'Einstein per al efecte fotoeléctrico, concloent, en una nota a peu de pàgina, que la regla de Born dona l'única interpretació possible de la solució. En 1954, junt en Walther Bothe, Born va rebre el Premi Nobel de Física per est i atres treballs. John von Neumann va discutir l'aplicació de la teoria espectral en la regla de Born en el seu llibre de 1932.

Derivació de principis més bàsics

La teorema de Gleason mostra que la regla de Born es pot derivar de la representació matemàtica usual de les mides en física quàntica junt en la suposició de no contextualidad . Andrew M. Gleason va demostrar per primera volta la teorema en 1957, motivat per una pregunta plantejada per George W. Mackey . Esta teorema va ser històricament significatiu pel paper que va eixercitar en mostrar que àmplies classes de teories de variables amagades són inconsistentes en la física quàntica.

Vàries investigadors també han tractat de derivar la regla de Born a partir de principis més bàsics. S'han propost vàries derivació en el context de l'interpretació quàntica de múltiples univers. Estos inclouen l'enfocament de la teoria de la decisió iniciat per David Deutsch i després desenrollat per Hilary Greaves i David Wallace; i en un enfocament de "envarianza" propost per Wojciech H. Zurek ; No obstant, estes proves han segut criticades com circulares. Més recentment, Charles Sebens i Sean M. Carroll han sugerit un enfocament basat en l'incertitut de autoubicación.

També s'ha afirmat que la teoria de l'ona pilot es pot utilisar per a derivar estadísticament la regla de Born, encara que açò seguix sent controversial. Kastner afirma que l'interpretació transaccional és l'única en donar una explicació física per a la regla de Born.

En 2019, Lluis Masanes i Thomas Galley del Perimeter Institute for Theoretical Physics, i Markus Müller del Institute for Quàntum Optics and Quàntum Information varen presentar una derivació de la regla de Born. Si ben el seu resultat no utilisa les mateixes suposicions inicials que la teorema de Gleason, sí supon una estructura d'espai de Hilbert i un tipo d'independència del context.

Dins de l'interpretació QBist de la teoria quàntica, la regla de Born es veu com una modificació de la llei estàndar de provabilitat total, que té en conte la dimensió del espai de Hilbert del sistema físic involucrat. En lloc de tractar de derivar la regla de Born, com fan moltes interpretacions de la mecànica quàntica, QBists pren una formulació de la regla de Born com a axiomàtica i pretén derivar la major cantitat possible de la teoria quàntica a partir d'ella.