Mida POVM

En física, en la teoria d'informació quàntica una mida POVM (Positive operator-valued measure) és un conjunt d'operadors hermíticos no negatius que actuen sobre l'espai de Hilbert que descriu el sistema quàntic en qüestió. A diferència de les mides PVM o proyectivas, les quals són un cas particular de les mides ací tractades, i són vàlides solament per a sistemes tancats, les mides POVM, també conegudes com a mides generalisades, tenen en conte l'interacció del sistema en l'entorn. He ací la raó del seu us, ya que els sistemes quàntics reals no són tancats, ya siga per existència de soroll o destorbament de l'entorn, o be per l'interacció en l'aparat de mida a l'hora de realisar experiments.

Definició

Siga un espai de Hilbert H associat a un sistema quàntic, es definix una mida POVM^[1] com un conjunt d'operadors hermíticos i no negatius ${E_{m}}$ que verifiquen la relació de completitud: $\sum_{m} E_{m} = 1$ , a on el subíndex m s'associa als possibles resultats $a_{m}$ que poden obtindre's en la mida del observable A en qüestió. Una propietat destacable d'estos operadors ${E_{m}}$ és que no són necessàriament ortonormals i, en conseqüència, si l'espai de Hilbert en el que treballem té dimensió d, el número d'operadors en la mida POVM pot ser superior a este valor, de modo que en medir podem obtindre més de d resultats possibles.

Propietats de les mides

Els operadors $E_{m}$ sempre poden escriure's en térmens d'uns operadors $M_{m}$ , que es coneixen com a operadors de Kraus, de la següent forma: $E_{m} = M_{m}^{†} M_{m}$ La seua utilitat residix que a través d'estos operadors podem calcular la provabilitat d'obtindre un resultat, aixina com l'estat del sistema just despuix de la mida.

Provabilitat d'un resultat

Si l'estat quàntic del sistema just abans de realisar la mida POVM està descrit per l'operador densitat $ρ$ , la provabilitat de que el resultat de la mida siga $a_{m}$ vindrà donada per:

$p (a_{m}) = T r (E_{m} ρ) = T r (M_{m}^{†} M_{m} ρ)$

Estat despuix de la mida

Immediatament despuix d'haver realisat la mida de l'observable A obtenint el resultat $a_{m}$ , el sistema quedarà en un nou estat descrit per l'operador densitat:

$ρ^{'} = \frac{M_{m} ρ M_{m}^{†}}{T r (M_{m}^{†} M_{m} ρ)}$

Ara be, en molts experiments de física quàntica no nos interessa el resultat concret obtingut en la mida; en estos casos, en els que desconeixem el $a_{m}$ concret obtingut, el sistema passa a l'estat descrit per l'operador:

$ρ^{'} = \sum_{m} p (a_{m}) \frac{M_{m} ρ M_{m}^{†}}{T r (M_{m}^{†} M_{m} ρ)} = \sum M_{m} ρ M_{m}^{†}$

Cas particular: mides PVM

En el cas de les mides proyectivas els operadors $M_{m}$ corresponen a proyectores $P_{m}$ , de modo que la provabilitat d'obtindre $a_{m}$ ve donada per:

$p (a_{m}) = T r (ρ P_{m})$

, i el nou estat despuix de medir ve descrit per:

$ρ^{'} = \frac{P_{m} ρ P_{m}}{T r (ρ P_{m})}$

Vore també

Referències

↑ Wilde (2013). "Quàntum Information Theory", Cambridge University Press. ISBN 978-1107034259.

Bibliografia

Nielsen, M., Chuang, I. Quàntum Computation and Quàntum Information, Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-63503-9
Wilde, Mark M.. Quàntum Information Theory, Cambridge University Press, 2013. ISBN 978-1107034259
http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/ [1] archivat en Wayback Machine.
https://people.eecs.berkeley.edu/vazirani/

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Medida POVM» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Wilde (2013). "Quàntum Information Theory", Cambridge University Press. ISBN 978-1107034259.

[1]