Estat mixt

En mecànica quàntica es diu estat mescla, estat mixt o mescla estadística d'estats purs, per contraposició a estat pur, a un estat quàntic que no està máximamente determinat. En atres paraules; es diu que un sistema es troba en un estat mescla quan no es dispon del màxim grau d'informació que pot obtindre sobre les seues propietats o observables. Esta informació es troba llimitada per l'existència, inclús en un estat pur, d'incompatibilitats entre certs observables (relació de indeterminación de Heisenberg), pero en un estat mescla la nostra falta d'informació és superior a l'exigida per la teoria quàntica.

Els estats mixts sorgixen en situacions a on l'observador no sap qué estats particulars estan sent manipulats. Un eixemple són els sistemes en equilibri tèrmic, equilibri químic adicional o sistemes que han segut preparats per mig d'un procediment variable o aleatori (per lo que no és possible saber en quin estat pur es troba el sistema). Ademés, si un sistema quàntic té dos o més subsistema entrellaçats, llavors cada subsistema deu tractar-se com un estat mixt, inclús si el sistema complet està en estat pur, per eixemple en els sistemes de partícules idèntiques.

La matriu de densitat sorgix com una ferramenta crucial en la teoria de-coherència quàntica. Per eixemple, si s'extrau un àtom d'heli-3 d'un recipient que conté molts àtoms del mateix tipo a temperatura ambiente es pot afirmar, en seguritat casi absoluta, que l'àtom es trobarà en el seu estat electrònic de menor energia, que es denomina estat $1s^2$. En este estat es té el màxim grau d'informació sobre les propietats electròniques de l'àtom, pero el seu núcleu té una propietat, que designarem $I_z$ (component $z$ del espin nuclear) que pot prendre els valors 1/2 i -1/2 en la mateixa provabilitat (en absència de camps electromagnètics externs). En conseqüència, direm que l'àtom es troba en un estat mescla. En canvi, si medim $I_z$ i obtenim —per eixemple— el valor 1/2, l'estat de l'àtom es definix automàticament com a pur, ya que —d'acort en les lleis de la mecànica quàntica i en l'experiència— no és possible obtindre més informació sobre l'àtom que siga compatible en l'informació que ya posseïm.

La matriu de densitat és l'anàlec mecànic-quàntic d'una mida de provabilitat d'espai de les fases (distribució de provabilitat de posició i moment) en la mecànica estadística clàssica. En la pràctica, els térmens matriu de densitat i operador de densitat a sovint s'usen indistintament. Tant la matriu com l'operador són autoadjuntos (i per tant hermíticos), semidefinido positius, de traça unitat, i poden ser de dimensió tant finita com a infinita.

Motivació i antecedents històrics

El concepte d'estat mescla va ser introduït en 1927 independentment pel físic soviètic Lev Davidovich Landau i Felix Bloch i matemàticament formulat en térmens de l'operador densitat per John von Neumann. En el cas de Landau, es tractava de donar un enfocament a la mecànica quàntica una miqueta més d'acort en les exigències de la física estadística, en particular en vistes a considerar el comportament quàntic de sistemes complexos (formats per grans números de partícules en interacció mútua), com gasés o cristalés. En el cas de von Neumann, la motivació era la de dotar de major rigor a l'estructura llògica i matemàtica de la mecànica quàntica; més en particular, i en lo que atañer als estats mescla, la formulació d'uns requisits mínims que definixquen l'estat quàntic.

Estats purs i estats mixt

En la mecànica quàntica, l'estat d'un sistema quàntic està representat per un vector d'estat, denotat $|\psi ⟩$ (i pronunciat ket). Un sistema quàntic en un sol vector d'estat $|\psi ⟩,$ es diu estat pur. No obstant, també és possible que un sistema estiga en un conjunt estadístic de diferents vectores d'estat: per eixemple, pot haver un $50\mathrm{\%}$ de possibilitats de que el vector d'estat siga $|{\psi }_1⟩$ i un $50\mathrm{\%}$ de possibilitats de que el vector d'estat siga $|{\psi }_2⟩$. Este sistema estaria en un estat mixt. La matriu de densitat és especialment útil per a descriure estats mixts, ya que qualsevol estat, pur o mixt, pot caracterisar-se per una matriu de densitat única (donada una base).

Eixemple d'estat mixt: polarisació de la llum

Un eixemple d'estats purs i mixts és la polarisació de la llum. Els fotons poden tindre dos helicidades, corresponents a dos estats quàntics ortogonals, $|R⟩$ (polarisació circular dreta) i $|L⟩$ (polarisació circular esquerra). Ademés, Un fotó pot estar en un estat de superposició, com $(|R⟩+|L⟩)/\sqrt{2}$ (polarisació vertical) o $(|R⟩-|L⟩)/\sqrt{2}$ (polarisació horisontal). De manera més general, pot estar en qualsevol estat $(\alpha |R⟩+\beta |L⟩)/\sqrt{2}$ (en ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$), no obstant, la llum no polarisada (com la llum d'una pera incandescent) no es correspon en cap estat del tipo $(\alpha |R⟩+\beta |L⟩)/\sqrt{2}$ (polarisació llineal, circular o elíptica). A diferència de la llum linealment o elípticamente polarisada, la llum no polarisada pansa a través d'un polarisador en una pèrdua d'intensitat de el $50\mathrm{\%}$ siga com siga l'orientació del polarisador, i a diferència de la llum polarisada circularment, no pot polarisar-se linealment en cap làmina d'ona perque emergirà una polarisació en orientació aleatòria.

La llum no polarisada es pot descriure com un promig en el que cada fotó pot prendre l'estat $|R⟩$ o $|L⟩$ en un $50\mathrm{\%}$ de provabilitat. Este comportament és equivalent a una descripció en el que cada fotó pot estar polarisat vertical o horisontalment en un $50\mathrm{\%}$ de provabilitat, per lo tant, la llum no polarisada no pot descriure's a través d'un estat pur, sino que deu ser descrita com un conjunt estadístic de, a lo manco, dos estats purs (els estats en polarisació circular a esquerres o a dretes, o be els estats en polarisació llineal vertical o horisontal). Estes dos descripcions són completament indistinguibles experimentalment, i per lo tant es consideren el mateix estat mixt ya que descriuen una mateixa realitat física.

Una ventaja de l'us de la matriu de densitat és que solament hi ha una matriu de densitat per a cada estat mixt, mentres que hi ha molts conjunts estadístics d'estats purs per a descriure dit estat mixo, de fet la matriu de densitat conté tota l'informació necessària per a calcular qualsevol propietat mesurable de l'estat mixt. ¿D'on vénen els estats mixts? Per a respondre això es deu considerar cóm es pot generar llum no polarisada, a continuació s'exponen tres formes de generar llum no polarisada:

• Una forma possible és usar un sistema en equilibri tèrmic, una mescla estadística d'enormes cantitats de microestats, cada u en una certa provabilitat de realisació (determinada pel factor Boltzmann), canviant ràpidament d'un a un atre per les fluctuacions tèrmiques. La aleatorietat tèrmica explica per qué una pera incandescent, per eixemple, emet llum no polarisada.
• Una segona forma que pot considerar de generar llum no polarisada és introduir incertitut en la preparació del sistema, per eixemple, passar-la a través d'un cristal birrefringente en una superfície rugosa, de modo que parts llaugerament diferents del fes adquirixquen diferents polarisació.
• Un atre modo de generar llum no polarisada usa una configuració EPR: una desintegració radiactiva pot emetre dos fotons que viagen en direccions opostes, en l'estat quàntic $(\alpha |R⟩+\beta |L⟩)/\sqrt{2}$. Els dos fotons junts estan en un estat pur, pero si solament es pren un dels fotons ignorant l'atre, el fotó es comporta com la llum no polarisada.

De manera més general, els estats mixts comunament sorgixen d'una mescla estadística de l'estat inicial (com en l'equilibri tèrmic), d'incertitut en el procediment de preparació (com a camins llaugerament diferents que un fotó pot viajar), o d'observar un subsistema entrellaçat en un atre.

Descripció matemàtica

El vector d'estat $|\psi ⟩$ d'un estat pur determina completament el comportament estadístic d'una medició. Per a la comprovació, prenga una cantitat observable i permeta que $A$ siga l'operador observable associat que té una representació en l'espai de Hilbert $\mathscr{H}$ del sistema quàntic. Per a qualsevol funció analítica de valor real $F$ definida sobre els número real, suponga que $F(A)$ és el resultat d'aplicar $F$ al resultat d'una medició. El valor esperat de $F(A)$ és:

$⟨\psi |F(A)|\psi ⟩$

Ara considere un estat mixt preparat per mig de la combinació estadística de dos estats purs diferents $|\psi ⟩$ i $|\varphi ⟩$, en les provabilitats associades $p$ i $1-p$, respectivament. Les provabilitats associades impliquen que el procés de preparació, el sistema terminarà en l'estat $|\psi ⟩$ en provabilitat $p$ i en l'estat $|\varphi ⟩$ en provabilitat $1-p$. No és difícil mostrar que les propietats estadístiques de l'observable per al sistema preparat en tal estat mixt estan completament determinades, no obstant, no existix cap vector d'estat $|\xi ⟩$ (ni tan sols $|\xi ⟩=p|\psi ⟩+(1-p)|\varphi ⟩$, o $|\xi ⟩=p^{1/2}|\psi ⟩+(1-p{)}^{1/2}|\varphi ⟩$) que determine este comportament estadístic de modo que el valor esperat de $F(A)$ siga

$⟨\xi |F(A)|\xi ⟩$

Per un atre costat, existix un operador únic $\rho$ que permet descriure valor esperat de $F(A)$ com: $⟨F(A)⟩=\mathrm{tr}[\rho F(A)]$ a on l'operador $\rho$ és l'operador de densitat del sistema mixt. Un simple càlcul mostra que l'operador $\rho$ en este cas està donat per

$\rho =p|\psi ⟩⟨\psi |+(1-p)|\varphi ⟩⟨\varphi |$.

Per a l'eixemple anterior de llum no polarisada, l'operador de densitat és

$\rho =\frac{1}{2}|R⟩⟨R|+\frac{1}{2}|L⟩⟨L|$.