Teorema de Gleason

En física matemàtica, la teorema de Gleason demostra que la regla que s'utilisa per a calcular provabilitats en física quàntica, la regla de Born, pot derivar-se de la representació matemàtica habitual de les medicions en física quàntica junt en el supòsit de no contextualidad. Andrew M. Gleason va demostrar per primera volta la teorema en 1957, responent a una pregunta plantejada per George W. Mackey, un guany que va anar històricament significatiu pel paper que va eixercitar en mostrar que àmplies classes de teories de variables amagades són inconsistentes en la física quàntica. Des de llavors s'han demostrat múltiples variacions. La teorema de Gleason és especialment important per al camp de la llògica quàntica i el seu intent de trobar un conjunt mínim d'axioma matemàtics per a la teoria quàntica.

Enunciat de la teorema

Antecedents conceptuals

En mecànica quàntica, cada sistema físic està associat a un espai de Hilbert. Per als fins d'este resum, se supon que l'espai de Hilbert és finito-dimensional. En l'enfocament codificat per John von Neumann, una mida sobre un sistema físic es representa per mig d'un operador autoadjunto en eixe espai de Hilbert, a voltes denominat "observable". Els vectores propis de dit operador formen una base ortonormal per a l'espai de Hilbert, i cada resultat possible d'eixa medició correspon a un dels vectores que componen la base. Un operador de densitat és un operador semidefinido positiu en l'espai de Hilbert que la seua traça és igual a 1. En el llenguage de von Weizsäcker, un operador de densitat és un "catàlec de provabilitats": per a cada mida que puga definir-se, la distribució de provabilitat sobre els resultats d'eixa mida pot calcular-se a partir de l'operador de densitat. El procediment per a fer-ho és la regla de Born, que establix que

$P(x_i)=\mathrm{Tr}({\Pi }_i\rho ),$

a on 𝜌 és l'operador de densitat, i Π𝑖 és l'operador de proyecció sobre el vector base corresponent al resultat de la medició 𝑥𝑖

.La regla de Born associa una provabilitat a cada vector unitari en l'espai de Hilbert, de manera que estes provabilitats sumen 1 per a qualsevol conjunt de vectores unitaris que comprenga una base ortonormal. Ademés, la provabilitat associada a un vector unitari és una funció de l'operador de densitat i del vector unitari, i no d'informació adicional com l'elecció de la base en la que s'inserta dit vector. La teorema de Gleason establix lo contrari: totes les assignació de provabilitats a vectores unitaris (o, equivalentemente, als operadors que es proyecten sobre ells) que satisfan estes condicions adopten la forma d'aplicar la regla de Born a algun operador de densitat. La teorema de Gleason es complix si la dimensió de l'espai de Hilbert és igual o superior a 3; existixen contraeixemples per a la dimensió 2.

Derivació del espai d'estats i la regla de Born

La provabilitat de qualsevol resultat d'una mida en un sistema quàntic deu ser un número real entre 0 i 1 inclusivament, i per a ser consistent, per a qualsevol mida individual les provabilitats dels diferents resultats possibles deuen sumar 1. La teorema de Gleason mostra que qualsevol funció que assigne provabilitats als resultats de les medicions, identificats per operadors de proyecció, deu ser expressable en térmens d'un operador de densitat i la regla de Born. Açò no només dona la regla per a calcular les provabilitats, sino que també determina el conjunt de possibles estats quàntics.

Siga 𝑓 siga una funció dels operadors de proyecció al interval unitari en la propietat de que, si un conjunt {Π𝑖} d'operadors de proyecció sumen a la matriu identitat (és dir, si corresponen a una base ortonormal), llavors$$\sum _{i}f({\Pi }_i)=1.$$Una funció d'este tipo expressa una assignació de valors de provabilitat als resultats de les medicions, una assignació que és "no contextual" en el sentit de que la provabilitat d'un resultat no depén de la medició en la que està inclós eixe resultat, sino només de la representació matemàtica d'eixe resultat específic, és dir, del seu operador de proyecció: §1.3: §2.1 La teorema de Gleason establix que per a qualsevol funció d'este tipo 𝑓existix un operador semidefinido positiu 𝜌 en traça unitària tal que$$f({\Pi }_i)=\mathrm{Tr}({\Pi }_i\rho ).$$Tant la regla de Born com el fet de que els "catàlecs de provabilitat" siguen operadors semidefinidos positius de traça unitària es deriven dels supòsits de que les mides estan representades per bases ortonormals i de que les assignació de provabilitat són "no contextuals". Per a que la teorema de Gleason siga aplicable, l'espai en el que es definixen les mides deu ser un espai de Hilbert real o complex, o un mòdul cuaterniónico (l'argument de Gleason és inaplicable si, per eixemple, s'intenta construir un anàlec de la mecànica quàntica utilisant números p-ádicos).

Història i esquema de la prova de Gleason

Archiu:GleasonAndrewMattei Berlin1959.jpg

Gleason en 1959

En 1932, John von Neumann també va conseguir deduir la regla de Born en el seu llibre de text Fonaments matemàtics de la mecànica quàntica. No obstant, les suposicions sobre les que von Neumann va construir la seua prova d'absència de variables amagades eren prou fortes i finalment es va considerar que no estaven ben motivades. En concret, von Neumann va assumir que la funció de provabilitat devia ser llineal en tots els observables, conmutables o no conmutables. La seua prova va ser ridiculisada per John Bell com "¡no només falsa, sino estúpida!". Gleason, per un atre costat, no va assumir la linealidad, sino simplement la aditividad per als proyectores conmutativos junt en la no contextualidad, suposicions considerades millor motivades i més significatives físicament.

A finals de la década de 1940, George Mackey s'havia interessat pels fonaments matemàtics de la física quàntica, preguntant-se en particular si la regla de Born era l'única regla possible per a calcular provabilitats en una teoria que representava les mides com a bases ortonormals en un espai de Hilbert. Mackey va discutir este problema en Irving Segal en l'Universitat de Chicago, qui a la seua volta li'l va plantejar a Richard Kadison, llavors estudiant de postgrau. Kadison va demostrar que per a espais de Hilbert bidimensionales existix una mida de provabilitat que no es correspon en els estats quàntics i la regla de Born. El resultat de Gleason implica que açò només ocorre en dimensió 2.

La prova original de Gleason procedix en tres etapes: §2 En la terminologia de Gleason, una funció marque és una funció de valor real 𝑓 en l'esfera unitària d'un espai de Hilbert tal que$$\sum _{i}f(x_i)=1$$sempre que els vectores 𝑥𝑖 constituïxquen una base ortonormal. Una assignació de provabilitat no contextual com la definida en la secció anterior és equivalent a una funció marque. Qualsevol mida d'este tipo que puga escriure's de la manera estàndar, és dir, aplicant la regla de Born a un estat quàntic, es denomina funció marque regular. Gleason deduïx una série de lemes sobre quàn una funció marque és necessàriament regular, que culminen en la teorema final. En primer lloc, establix que tota funció marque contínua en l'espai de Hilbert 𝑅3 és regular. Este pas utilisa la teoria dels harmònics esfèrics. A continuació, demostra que les funcions marque en 𝑅3 tenen que ser contínues, lo que establix la teorema per al cas especial de 𝑅3. Este pas es considera el més difícil de la demostració i, per últim, demostra que el problema general pot reduir-se a este cas especial. Gleason atribuïx un lema utilisat en esta última etapa de la prova al seu estudiant de doctorat Richard Palais.

Robin Lyth Hudson va descriure la teorema de Gleason com "célebre i notòriament difícil" Cooke, Keane i Moren varen produir posteriorment una demostració més llarga que la de Gleason, pero que requerix menys prerrequisitos.