Mida espectral

En matemàtiques, en especial en anàlisis funcional una mida espectral és una aplicació el domini de la qual és una σ-àlgebra i els valors de la qual són proyeccions autoadjuntas en un espai de Hilbert. Mides espectrals s'utilisen en la teoria espectral d'operadors autoadjuntos.

Definició formal

Sean

• $(X,𝒜)$ un espai mesurable, és dir $𝒜$ és una σ-àlgebra de subconjunts de $X$.
• $H$ un espai de Hilbert.
• $\pi$ una aplicació de $𝒜$ al conjunt de proyeccions ortogonals de $H$.

$\pi$ és una mida espectral si i solament si

• $\pi (X)={\mathrm{id}}_H$

Si $\{E_i:i\in \mathbb{N}\}$ és una successió d'elements de $𝒜$ disjuntos entre sí, llavors les proyeccions $\{\pi (E_i):i\in \mathbb{N}\}$ són ortogonals entre sí i

$\pi (\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{E}_i)=\sum _{i\in \mathbb{N}}\pi (E_i)$

a on la convergència en el sumatorio és en el sentit de la convergència forta d'operadors: O siga que para tot vector $x\in H$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\pi (E_k)x=\pi (\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{E}_i)x$

Referències

• G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• V. S. Varadarajan, Geometry of Quàntum Theory V2, Springer Verlag, 1970.