Teorema de la provabilitat total

Demostració visual de la teorema de la provabilitat total per al cas n = 4.

La teorema de la provabilitat total afirma lo següent:

Demostració

Per hipòtesis tenim una partició $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ de l'espai mostral $Ω$ . Per lo tant el succés $B$ es pot escriure com

B = (B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2}) \cup \dots \cup (B \cap A_{n}) .

ara be, els conjunts $B \cap A_{i}$ són disjuntos dos a dos , ya que en cas contrari els $A_{i}$ tampoc ho serien. En conseqüència

P (B) = P (B \cap A_{1}) + P (B \cap A_{2}) + \dots + P (B \cap A_{n}) .

Per últim, se sap que $P (C \cap D) = P (C | D) P (D)$ per a qualssevol successos $C$ i $D$ . Després

P (B) = P (B | A_{1}) P (A_{1}) + P (B | A_{2}) P (A_{2}) + \dots + P (B | A_{n}) P (A_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} P (B | A_{i}) P (A_{i}),

que era lo que es volia demostrar.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de la probabilidad total» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.