Permanent (matemàtiques)

En àlgebra llineal, el permanent d'un matriu quadrada és una funció de la matriu similar al determinant. El permanent, aixina com el determinant, és el resultat d'un polinomi que es calcula a partir dels valors de la matriu. Abdós són casos especials d'una funció més general d'una matriu anomenada inmanente.

Definició

El permanent d'una matriu n×n A= (a_i,j) es definix com

$$\mathrm{perm}(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}.$$

La suma ací s'estén sobre tots els elements σ del grup simètric S_n; és dir, sobre totes les permutació dels números 1, 2, ..., n.

Per eixemple,

$$\mathrm{perm}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad+bc,$$

i

$$\mathrm{perm}\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)=aei+bfg+cdh+ceg+bdi+afh.$$

La definició del permanent de A diferix de la del determinant de A en que no es tenen en conte les signaturas de les permutació.

El permanent d'una matriu As denota per A, perm A o Per A, a voltes en paréntesis al voltant de l'argument. Minc usa Per(A) per al permanent de matrius rectangulars, i per(A) quan A és una matriu quadrada. Muir i Metzler usen la notació $\stackrel{+}{|}\stackrel{+}{|}$.

La paraula permanent es va originar en Cauchy en 1812 com "funcions simètriques permanents" per a un tipo relacionat de funció, i va ser utilisada per Muir i Metzler en el sentit modern i més específic.

Propietats

Si es considera el permanent com una aplicació que pren n vectores com a arguments, llavors és una aplicació multilineal i és simètric (lo que significa que qualsevol orde dels vectores dona com resultat el mateix permanent). Ademés, donada una matriu quadrada $A=\left(a_{ij}\right)$ d'orde n:

• perm(A) és invariable baix permutació arbitràries de les files i/o columnes de A. Esta propietat es pot escriure simbòlicament com perm(A) = perm(PAQ) per a qualsevol matriu permutació P i Q del tamany apropiat,
• multiplicar qualsevol fila o columna de A per un escalar s canvia perm(A) a s⋅perm(A),
• perm(A) és invariable baix la transposició, és dir, perm(A) = perm(A^T).
• Si $A=\left(a_{ij}\right)$ i $B=\left(b_{ij}\right)$ són matrius quadrades d'orde n, llavors

$\mathrm{perm}(A+B)=\sum _{s,t}\mathrm{perm}{\left(a_{ij}\right)}_{i\in s,j\in t}\mathrm{perm}{\left(b_{ij}\right)}_{i\in \overline{s},j\in \overline{t}},$

a on s i t són subconjunts del mateix tamany de {1,2,...,n} i $\overline{s},\overline{t}$ són els seus respectius complements en eixe conjunt.

• Si $A$ és una matriu triangular, és dir, $a_{ij}=0$, sempre que $i>j$ o, alternativament, quan siga $i<j$, llavors el seu permanent (i el seu determinant també) és igual al producte de les entrades diagonals:

$\mathrm{perm}\left(A\right)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^n{a}_{ii}.$

Vore també

• Càlcul del permanent
• Teorema Bapat-Beg, una aplicació de permanents en estadístics d'orde
• Determinant de Slater, una aplicació de permanents en mecànica quàntica
• Hafniano

Bibliografia

• Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes (vol. 108), Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86565-4.

• Minc, Henryk (1978). Permanents, With a foreword by Marvin Marcus (vol. 6), Reading, MA: Addison–Wesley. OCLC 3980645.
• (1960 (1ª Ed. 1882)) A Treatise on the Theory of Determinants, New York: Dover. OCLC 535903.
• (1971).«Combinatorial Methods».Springer-Verlag.
• (1963).«Combinatorial Mathematics».The Mathematical Association of America.
• (2001).«A Course in Combinatorics».Cambridge University Press.