Determinant de Slater

El determinant de Slater és una tècnica matemàtica de la mecànica quàntica que s'usa per a generar funciones d'ones antisimètriques que descriguen els estats colectius de varis fermiones i que complixquen el principi d'exclusió de Pauli.

Este tipo de determinants prenen el seu nom de John C. Slater, físic i químic teòric nortamericà que va propondre la seua utilisació en la finalitat d'assegurar que la funció d'ona electrònica siga antisimètrica respecte de l'intercanvi de dos electrons. Els determinants de Slater es construïxen a partir de funcions d'ona monoelectrónicas denominades espin-orbitales $\chi (𝐱)$, a on $𝐱$ representa les coordenades de posició i d'espin de l'electró. Com una conseqüència de les propietats dels determinants, dos electrons no poden estar descrits pel mateix espin-orbital ya que significaria que la funció d'ona s'anula en tot l'espai.

Dos partícules

Per a ilustrar el seu funcionament podem considerar el cas més simple, el de dos partícules. Si ${𝒙}_1$ i ${𝒙}_2$ són les coordenades (espacials i d'espin) de la partícula 1 i la partícula 2 respectivament, es pot generar la funció d'ona colectiva $\Psi$ com el producte de les funcions d'ona individuals de cada partícula, és dir

Esta expressió es denomina producte de Hartree, i és la funció d'ona més simple que podem escriure dins de l'aproximació orbital. De fet, este tipo de funció d'ones no és vàlit per a la representació d'estats colectius de fermiones ya que esta funció d'ones no és antisimètrica davant un intercanvi de partícules. La funció deu satisfer la següent condició

És fàcil comprovar que encara que l'anterior producte de Hartree no és antisimètric respecte de l'intercanvi de partícules, la següent combinació llineal d'estos productes sí que ho és

a on hem inclós un factor per a que la funció d'ones estiga normalisada convenientment. Esta última equació pot reescriure's com un determinant de la següent forma

conegut com el determinant de Slater de les funcions ${\chi }_1$ i ${\chi }_2$. Per tant esta funció d'ona ademés de ser antisimètrica, considera que els dos electrons són partícules indistinguibles. Les funcions aixina generades tenen la propietat d'anular-se si dos de les funcions d'ones d'una partícula són iguals o, lo que és equivalent, dos dels fermiones estan descrits pel mateix espin orbital. Açò és equivalent a satisfer el principi d'exclusió de Pauli.

n partícules

Per a definir el determinant de Slater de n fermiones és convenient definir prèviament el Producte de Hartree (ph) de n espin-orbitales, el qual es definix com el següent producte

Definint ademés el antisimetrisador com

a on la sumatoria corre sobre totes les permutació $P_{\alpha }$ possibles. El factor $(-1{)}^{\alpha }$ incorpora un signe positiu si la permutació és parell i un signe negatiu si és impar.

Com un eixemple, per a comprendre cóm actua l'operador permutació pot considerar-se el cas de 3 partícules

Tenint definit el antisimetrisador $A$ , llavors el determinant de Slater (DS) s'escriu segons l'expressió:

cal destacar que la raïl quadrada aplicada sobre el factor n! en la definició del antisimetrisador donada prèviament permet que el determinant de Slater quede automàticament normalisat.

Algunes propietats del antisimetrizador

Recordant la definició

este operador és hermítico i complix la relació

En alguns texts s'utilisa la següent definició alternativa per al antisimetrisador

que té la ventaja de simplificar l'expressió prèvia, obtenint-se

pero la desventaja de complicar una miqueta l'expressió que relaciona el producte de Hartree i el determinant de Slater