Teorema Bapat-Beg

En teoria de la provabilitat, la teorema Bapat-Beg dona la distribució de provabilitat conjunta d'estadístics d'orde independents, pero no necessàriament de variables aleatòries idénticamente distribuïdes en térmens de les funcions de distribució acumulada de les variables aleatòries. Bapat i Beg varen publicar la teorema en 1989, encara que no varen donar demostració d'eixe resultat. En 1994, Hande va donar una demostrción senzilla de la teorema.

A sovint, tots els elements de la mostra s'obtenen de la mateixa població i per lo tant tenen la mateixa distribució de provabilitat. La teorema Bapat-Beg descriu les estadístiques d'orde quan s'obté cada element de la mostra a partir d'una diferent població estadística i per lo tant té la seua pròpia distribució de provabilitat.

Presentació de la teorema

Siga $X_1,X_2,\dots ,X_n$ variables aleatòries reals independents en funcions de distribució acumulativa respectivament $F_1(x),F_2(x),\dots ,F_n(x)$. Escriu $X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)}$ per a les estadístiques de demanat. Llavors la distribució de provabilitat de $n_1,n_2,\dots ,n_k$ estadístiques de demanats (en $n_1<n_2<\cdots <n_k$ and $x_1<x_2<\cdots <x_k$) és

$\begin{array}{cc}{F}_{X_{(n_1)},\dots ,X_{(n_k)}}(x_1,\dots ,x_k)& =\mathrm{Pr}(X_{(n_1)}\le x_1\wedge X_{(n_2)}\le x_2\wedge \cdots \wedge X_{(n_k)}\le x_k)\\ & =\sum _{i_k=n_k}^n\cdots \sum _{i_2=n_2}^{i_3}\sum _{i_1=n_1}^{i_2}\frac{P_{i_1,\dots ,i_k}(x_1,\dots ,x_k)}{i_1!(i_2-i_1)!\cdots (n-i_k)!},\end{array}$

a on:

$\begin{array}{cc}& P_{i_1,\dots ,i_k}(x_1,\dots ,x_k)=\\ & \mathrm{per}\left[\begin{array}{cccc}{F}_1(x_1)\cdots F_1(x_1)& F_1(x_2)-F_1(x_1)\cdots F_1(x_2)-F_1(x_1)& \cdots & 1-F_1(x_k)\cdots 1-F_1(x_k)\\ F_2(x_1)\cdots F_2(x_1)& F_2(x_2)-F_2(x_1)\cdots F_2(x_2)-F_2(x_1)& \cdots & 1-F_2(x_k)\cdots 1-F_1(x_k)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \underset{i_1}{\underbrace{F_n(x_1)\cdots F_n(x_1)}}& \underset{i_2-i_1}{\underbrace{F_n(x_2)-F_n(x_1)\cdots F_n(x_2)-F_n(x_1)}}& \cdots & \underset{n-i_k}{\underbrace{1-F_n(x_k)\cdots 1-F_n(x_k)}}\end{array}\right]\end{array}$

és el permanent de la matriu per blocs donada. (Les sifres baix dels tirants mostren el número de columnes.)

Cas independent distribuït de forma idèntica

En el cas quan les variables $X_1,X_2,\dots ,X_n$ són independents i idénticamente distribuïts en la funció de distribució de provabilitat acumulativa $F_i=F$ per a tot i lo que la teorema es reduïx a:

$\begin{array}{cc}& F_{X_{(n_1)},\dots ,X_{(n_k)}}(x_1,\dots ,x_k)\\ =& \sum _{i_k=n_k}^n\cdots \sum _{i_2=n_2}^{i_3}\sum _{i_1=n_1}^{i_2}m!\frac{F(x_1{)}^{i_1}}{i_1!}\frac{(1-F(x_k){)}^{m-i_k}}{(m-i_k)!}\prod _{j=2}^k\frac{{[F(x_j)-F(x_{j-1})]}^{i_j-i_{j-1}}}{(i_j-i_{j-1})!}.\end{array}$

Observacions

No es necessita assumir la continuïtat de les funcions de distribució acumulativa. Si no s'imponen les desigualtats x₁ < x₂ < ... < x_k, algunes de les desigualtats "poden ser redundantes i la provabilitat pot evaluar-se despuix de fer la reducció necessària".