Estadístics d'orde

En Estadística, el estadístic d'orde kº és igual al k-ésimo valor més chicotet d'una mostra estadística. Junt en els estadístics de ranc, els estadístics d'orde són una de les ferramentes fonamentals de l'estadística no paramètrica i d'inferència .

Hi ha casos especials importants dels estadístics d'orde: el mínim i el màxim valor d'una mostra, i (en algunes calificacions discutides a continuació) la mijana i atres cuantiles de mostra.

Quan s'utilisa la Teoria de Provabilitat per a analisar estadístics d'orde de mostres aleatòries a partir d'una distribució contínua, la funció de distribució acumulativa s'usa per a reduir l'anàlisis al cas d'estadístics d'orde de la distribució uniforme.

Notació i eixemples

Per eixemple, supongam que s'observen o són registrats 4 números, lo que resulta en una mostra de tamany 4. Si els valors de la mostra són

6, 9, 3, 8,

que per lo general es denominen

$x_1=6,x_2=9,x_3=3,x_4=8,$

a on el subíndex i in $x_i$ simplement indica l'orde en el que es varen registrar les observacions i se supon per lo general no són significatius. Un cas en el que l'orde és significatiu és quan les observacions són part d'una série de temps.

Els estadístiques d'orde s'indiquen

$x_{(1)}=3,x_{(2)}=6,x_{(3)}=8,x_{(4)}=9,$

a on el subíndex (i) entre paréntesis indica l'orde º de l'estadística de la mostra i.

El primer estadístic d'orde (o estadístic d'orde més menut) és sempre el mínim de la mostra, és dir,

$X_{(1)}=\min \{X_1,\dots ,X_n\}$

a on, despuix d'una convenció comuna, s'utilisen lletres mayúscules per a fer referència a variables aleatòries, i les lletres minúscules (com dalt) per als valors reals observats.

De la mateixa manera, per a una mostra de tamany n, el n-ésimo estadístic d'orde n (o més gran estadístic d'orde) és el màxim, és dir:

$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\}.$

El ranc de la mostra és la diferència entre el màxim i el mínim. Note que és una funció dels estadístics d'orde:

$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\{X_1,\dots ,X_n\}=X_{(n)}-X_{(1)}.$

Una senya important similar en l'anàlisis exploratori de les senyes que es relaciona simplement en les estadístiques d'orde és el ranc intercuartílico de la mostra.

La mijana de la mostra pot ser o pot no ser un estadístic, ya que hi ha un únic element mig només quan el número n d'observacions és impar . Més precisament, si n = 2m+1 per a alguns m, llavors la mijana de la mostra és $X_{(m+1)}$ i aixina és un estadístic d'orde. Per un atre costat, quan n és inclús, n = 2m i hi ha dos valors mijos, $X_{(m)}$ and $X_{(m+1)}$, i la mijana de la mostra és una funció dels dos (per lo general el promig) i per lo tant no és un estadística orde. Observacions similars valen per a tots els cuantiles de la mostra.

Anàlisis provabilístic

Tenint en conte totes les variables aleatòries X₁, X₂..., X_n, els estadístiques d'orde X₍₁₎, X₍₂₎, ..., X_(n) també són variables aleatòries, definides per la classificació dels valors ( Realisacions ) de X₁, ..., X_n creixent.

Quan les variables aleatòries X₁, X₂..., X_n formen una mostra de que són independents i idénticamente distribuïts. Est és el cas tractat a continuació. En general, les variables aleatòries X₁, ..., X_n poden sorgir per mig d'un mostreig de més d'una població. Llavors ells són independents , pero no necessàriament idénticamente distribuïdes, i la seua distribució de provabilitat conjunta està donada pel teorema Bapat-Beg.

A partir d'ara, assumirem que les variables aleatòries que es consideren són contínues i, quan siga convenient, també anem a assumir que tenen una funció de densitat de provabilitat (és dir, que són absolutament contínues). Les peculiaritats de l'anàlisis de les distribucions de masses per a l'assignació de punts (en particular, les distribucions discretes) es discutixen al final.

Distribucions de provabilitat d'estadístiques d'orde

En esta secció vàrem mostrar que les estadístiques d'orde de la distribució uniforme en l'interval unitat tenen distribucions marginals pertanyents a la distribució Beta família. També donem un método senzill per a derivar la distribució conjunta de qualsevol número d'estadístics d'orde i, finalment, traduir estos resultats per a distribucions contínues arbitràries utilisant el CDF .

Suponem que, en tota esta secció, $X_1,X_2,\dots ,X_n$ és una mostra aleatòria extreta d'una distribució contínua en funció de distribució $F_X$. Denotant $U_i=F_X(X_i)$ s'obté la mostra aleatòria corresponent $U_1,\dots ,U_n$ de la norma de distribució uniforme. Tinga en conte que les estadístiques d'orde també satisfan $U_{(i)}=F_X(X_{(i)})$.

Estadístiques d'orde de la mostra d'una distribució uniforme

La provabilitat de l'estadística per a $U_{(k)}$ caure en l'interval $[u,u+du]$ i igual a:

$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{u}^{k-1}(1-u{)}^{n-k}du+O(d{u}^2),$

és dir, el k-ésimo orde estadística de la distribució uniforme és una Beta variable aleatòria.

$U_{(k)}\sim B(k,n+1-k).$

La prova d'estos estats és el següent. Per a $U_{(k)}$ a ser d'entre o i o + du, és necessari que exactament k - 1 elements de la mostra són més menuts que O, i que a lo manco un és entre O i O + D U. La provabilitat de que més d'un és en este últim interval és ya O (du ^ 2) , Aixina que tenim que calcular la provabilitat de que exactament k - 1, 1 i n - k observacions cauen en els intervals $(0,u)$, $(u,u+du)$ i $(u+du,1)$ respectivament. Açò és igual a (consulte la distribució multinomial para més detalls)

i el resultat seguix. La mija d'esta distribució és k / (n + 1).

La distribució conjunta de les estadístiques d'orde de la distribució uniforme

De la mateixa manera, per a i <j, la funció de densitat de provabilitat conjunta de les dos estadístiques d'orde de O_(i) < O_(j) pot ser demostrat ser

que és (fins a térmens d'orde superior $O(dudv)$) La provabilitat de que i − 1, 1, j − 1 − i, 1 and n − j elements de la mostra j caic en els intervals $(0,u)$, $(u,u+du)$, $(u+du,v)$, $(v,v+dv)$, $(v+dv,1)$, respectivament

Una de les raons en una forma totalment anàloga per a derivar les distribucions de conjunts d'orde superior. Potser sorprenentment, la densitat conjunta dels estadístics d'orde de tanaño n resulta ser constant:

Una manera d'entendre açò és que la mostra no ordenada té densitat constant igual a 1, i que hi ha n! diferents permutació de la mostra corresponent a la mateixa seqüència d'estadístiques d'orde. Açò està relacionat en el fet de que 1 / n! és el volum de la regió $0<u_1<\cdots <u_n<1$.

Estadístiques d'orde de la mostra d'una distribució Erlang

La transformada de Laplace d'estadístiques d'orde de la mostra a partir d'una distribució de Erlang a través d'un método de reconte de ruta.

La distribució dels estadístics d'orde en el cas general

Si una variable posseïx una distribució absolutament contínua F_X, llavors admet una densitat de provabilitat tal que $d{F}_X(x)=f_X(x)dx$, i en les fòrmules anteriors poden practicar-se les substitucions:

$u=F_X(x)$, $$ $du=f_X(x)dx$

per a derivar les funciones de densitat de provabilitat (FDPs) per als estadístics d'orde d'una mostra de tamany n presa de la distribució de X:

Aplicacions

Dins de les aplicacions més interessants, es pot destacar l'artícul a on es quantifica el risc de la coa dreta d'una variable aleatòria a través de l'esperança de la n-i reclamacions més grans dins d'una cartera de negoci.