Distribució de Erlang

En la teoria de la provabilitat i estadística, la distribució Erlang és una distribució de provabilitat contínua en dos paràmetros donats per

• $n$ el factor de forma de la distribució.
• $\lambda$ el factor de proporció de la distribució.

Definició

Funció de Densitat

Una variable aleatòria contínua $X$ té distribució de Erlang en paràmetros $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ i $\lambda >0$ i escrivim $X\sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$ si la funció de densitat per a valors $x>0$ és

$f(x)=\frac{\lambda (\lambda x{)}^{n-1}{e}^{-\lambda x}}{(n-1)!}$

Esta distribució s'utilisa per a descriure el temps d'espera fins al succés número $n$ en un procés de Poisson.

Esta distribució rep el seu nom en honor al matemàtic i ingenier danés Agner Krarup Erlang, qui la va introduir en 1909 per a examinar el número de cridades telefòniques que poden assignar-se simultàneament a les operadores de commutadors. Este treball d'ingenieria de tràfic telefònic s'ha ampliat per a considerar els temps d'espera en els sistemes de coes en general. La distribució també s'utilisa en el camp dels processos estocàstics.

Funció de Distribució

Si $X\sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$ llavors la seua funció de distribució acumulada està donada per

$\begin{array}{cc}F(x)& =\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda x{)}^k{e}^{-\lambda x}}{k!}\\ & =1-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda x{)}^k{e}^{-\lambda x}}{k!}\end{array}$

Propietats

Si $X\sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$ llavors l'esperança de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X]=\frac{n}{\lambda }$

• La varianza de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{Var}(X)=\frac{n}{{\lambda }^2}$

• La funció generadora de moments està donada per

$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^n$

Vore també

• Distribució gamma
• Distribució exponencial
• Distribució beta
• Distribució normal
• Procés de Poisson