Equació de Rarita-Schwinger

En física teòrica, la equació de Rarita-Schwinger és l'equació d'evolució temporal relativista que descriu partícules fermiónicas d'espin 3/2, formulada en 1941 per William Rarita i Julian Schwinger. És similar a l'equació de Dirac per a fermiones d'espin 1/2.

Esta equació proporciona una funció d'ona útil per a descriure objectes compost com el barión Delta (Δ) d'espin 3/2. I supostament també podria aplegar a descriure partícules hipotètiques com el gravitino postulat per teories supersimétricas com la teoria de supercuerdas.

Formulació matemàtica

En la moderna notació l'equació de Rarita-Schwinger s'escriu com:

${ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{\gamma }^5{\gamma }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\psi }_{\sigma }+m{\psi }^{\mu }=0$

Símbol	Nom
${ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }$	Símbol de Levi-Civita totalment antisimètric
${\gamma }^5,{\gamma }_{\nu }$	Matrius de Dirac
$m$	Massa de les partícula descrites per l'equació
${\psi }_{\mu }{\psi }^{\mu }$	Components (covariants i contravariantes) d'un espinor vectorial en components adicionals respecte als habituals en els espinores de Dirac

${\gamma }_{\nu };$

L'equació anterior de fet correspon a la representació:

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\otimes ((\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2}))$

del grup de Lorentz o en més precisió a la part:

$(1,\frac{1}{2})\oplus (\frac{1}{2},1)$

d'eixa representació. Ademés de la mateixa manera que succeïx en l'equació de Dirac deu tindre's present que existix variants de "Weyl" i "Majorana" de l'equació de Rarita-Schwinger.

Una atra propietat interessant és que de la mateixa manera que l'equació de Dirac, l'interacció entre el camp electromagnètic i un camp de Rarita-Schwinger pot ser modelizado, d'acort en el Principi d'acoplament mínim, per mig de la substitució de les derivades parcials per derivades covariants basades en camps gauge:

${\partial }_{\mu }\to D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$

L'equació de Rarita-Schwinger per a un camp sense massa té una simetria gauge d'invariancia, baix transformacions del tipo:

${\psi }_{\mu }⟼{\psi }_{\mu }+{\partial }_{\mu }ϵ$

Símbol	Nom
$ϵ$	Camp espinorial arbitrari

Lagrangiano del camp

El camp fermiónico d'espin 3/2 descrit per l'equació RS anterior pot derivar-se del següent lagrangiano:

$ℒ=\frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{\overline{\psi }}_{\mu }{\gamma }^5{\gamma }_{\nu }{\partial }_{\rho }{\psi }_{\sigma }-m{\overline{\psi }}_{\mu }{\psi }^{\mu }$

a on la barra sobre ${\psi }_{\mu }$ denota l'adjunt de Dirac.